時(shí)域和頻域

當(dāng)您在示波器上查看電信號時(shí)，您會看到一條線，表示電壓隨時(shí)間的變化。在任何特定時(shí)刻，信號只有一個(gè)電壓值。您在示波器上看到的是信號的時(shí)域表示。

典型的示波器跟蹤顯示非常直觀，但也有一定的限制性，因?yàn)樗恢苯语@示信號的頻率內(nèi)容。而與時(shí)域表示相反就是頻域，其中一個(gè)時(shí)刻僅對應(yīng)于一個(gè)電壓值，頻域表示(也稱為頻譜)通過識別同時(shí)存在的各種頻率分量來傳達(dá)關(guān)于信號的信息。

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正弦波(頂部)和方波(底部)的時(shí)域表示。

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正弦波(頂部)和方波(底部)的頻域表示。什么是濾波器?

濾波器是一個(gè)電路，其去除，或“過濾掉”的頻率分量的特定范圍。換句話說，它將信號的頻譜分離為將要通過的頻率分量和將被阻隔的頻率分量。

如果您對頻域分析沒有太多經(jīng)驗(yàn)，您可能仍然不確定這些頻率成分是什么以及它們?nèi)绾卧诓荒芡瑫r(shí)具有多個(gè)電壓值的信號***存，讓我們看一個(gè)有助于澄清這個(gè)概念的簡短例子。

假設(shè)我們有一個(gè)由完美的5 kHz正弦波組成的音頻信號。我們知道時(shí)域中的正弦波是什么樣的，在頻域中我們只能看到5 kHz的頻率“尖峰”。現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們激活一個(gè)500 kHz振蕩器，將高頻噪聲引入音頻信號。

在示波器上看到的信號仍然只是一個(gè)電壓序列，每個(gè)時(shí)刻有一個(gè)值，但信號看起來會有所不同，因?yàn)樗臅r(shí)域變化現(xiàn)在必須反映5 kHz正弦波和高頻噪音波動。

然而，在頻域中，正弦波和噪聲是在該一個(gè)信號中同時(shí)存在的單獨(dú)的頻率分量。正弦波和噪聲占據(jù)了信號頻域表示的不同部分(如下圖所示)，這意味著我們可以通過將信號引導(dǎo)通過低頻并阻擋高頻的電路來濾除噪聲。

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濾波器的類型

濾波器可以放在與濾波器頻率響應(yīng)的一般特征相對應(yīng)的廣泛類別中。如果濾波器通過低頻并阻止高頻，則稱為低通濾波器;如果它阻擋低頻并通過高頻，它就是一個(gè)高通濾波器。還有帶通濾波器，其僅通過相對窄的頻率范圍，以及帶阻濾波器，其僅阻擋相對窄的頻率范圍。

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還可以根據(jù)用于實(shí)現(xiàn)電路的組件類型對濾波器進(jìn)行分類。無源濾波器使用電阻器，電容器和電感器，這些組件不具備提供放大的能力，因此無源濾波器只能維持或減小輸入信號的幅度。另一方面，有源濾波器既可以濾波信號又可以應(yīng)用增益，因?yàn)樗ㄓ性丛?a target="_blank">晶體管或運(yùn)算放大器。

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這種有源低通濾波器基于流行的Sallen-Key拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

本文將探討了無源低通濾波器的分析和設(shè)計(jì)。這些電路在各種系統(tǒng)和應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。

RC低通濾波器

為了創(chuàng)建無源低通濾波器，我們需要將電阻元件與電抗元件組合在一起。換句話說，我們需要一個(gè)由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻 - 電感(RL)低通拓?fù)湓跒V波能力方面與電阻 - 電容(RC)低通拓?fù)湎喈?dāng)。但實(shí)際上，電阻 - 電容方案更為常見，因此本文的其余部分將重點(diǎn)介紹RC低通濾波器。

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RC低通濾波器。

如圖所示，通過將一個(gè)電阻與信號路徑串聯(lián)，并將一個(gè)電容與負(fù)載并聯(lián)，可以產(chǎn)生RC低通響應(yīng)。在圖中，負(fù)載是單個(gè)組件，但在實(shí)際電路中，它可能更復(fù)雜，例如模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換器，放大器或示波器的輸入級，用于測量濾波器的響應(yīng)。

如果我們認(rèn)識到電阻器和電容器形成與頻率相關(guān)的分壓器，我們可以直觀地分析RC低通拓?fù)涞臑V波動作。

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重新繪制RC低通濾波器，使其看起來像分壓器。

當(dāng)輸入信號的頻率低時(shí)，電容器的阻抗相對于電阻器的阻抗高; 因此，大部分輸入電壓在電容器上(和負(fù)載兩端，與電容器并聯(lián))下降。當(dāng)輸入頻率較高時(shí)，電容器的阻抗相對于電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，并且較少的電壓傳輸?shù)截?fù)載。因此，低頻通過并且高頻被阻擋。

RC低通功能的這種定性解釋是重要的第一步，但是當(dāng)我們需要實(shí)際設(shè)計(jì)電路時(shí)它并不是很有用，因?yàn)樾g(shù)語“高頻”和“低頻”非常模糊。工程師需要創(chuàng)建通過并阻止特定頻率的電路。例如，在上述音頻系統(tǒng)中，我們希望保留5kHz信號并抑制500kHz信號。這意味著我們需要一個(gè)濾波器，從5 kHz到500 kHz之間的傳遞過渡到阻塞。

截止頻率

濾波器不會引起顯著衰減的頻率范圍稱為通帶，濾波器確實(shí)導(dǎo)致顯著衰減的頻率范圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如RC低通濾波器，總是從通帶逐漸過渡到阻帶。這意味著無法識別濾波器停止傳遞信號并開始阻塞信號的一個(gè)頻率。然而，工程師需要一種方便，簡潔地總結(jié)濾波器頻率響應(yīng)的方法，這就是截止頻率概念發(fā)揮作用的地方。

當(dāng)您查看RC濾波器的頻率響應(yīng)圖時(shí)，您會注意到術(shù)語“截止頻率”不是很準(zhǔn)確。信號光譜被“切割”成兩半的圖像，其中一個(gè)被保留而其中一個(gè)被丟棄，不適用，因?yàn)殡S著頻率從截止點(diǎn)下方移動到截止值以上，衰減逐漸增加。

RC低通濾波器的截止頻率實(shí)際上是輸入信號幅度降低3dB的頻率(選擇該值是因?yàn)榉冉档?dB對應(yīng)于功率降低50%)。因此，截止頻率也稱為-3 dB頻率，實(shí)際上該名稱更準(zhǔn)確且信息量更大。術(shù)語帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等于-3 dB頻率(如下圖所示)。

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該圖表示RC低通濾波器的頻率響應(yīng)的一般特性。帶寬等于-3 dB頻率。

如上所述，RC濾波器的低通行為是由電阻器的頻率無關(guān)阻抗與電容器的頻率相關(guān)阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應(yīng)的細(xì)節(jié)，我們需要在數(shù)學(xué)上分析電阻(R)和電容(C)之間的關(guān)系，我們還可以***這些值，以設(shè)計(jì)滿足精確規(guī)格的濾波器。RC低通濾波器的截止頻率(f C)計(jì)算如下：

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我們來看一個(gè)簡單的設(shè)計(jì)實(shí)例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見的電容值(例如10 nF)開始，然后我們將使用該公式來確定所需的電阻值。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，它將保留5 kHz音頻波形并抑制500 kHz噪聲波形。我們將嘗試100 kHz的截止頻率，稍后在文章中我們將更仔細(xì)地分析此濾波器對兩個(gè)頻率分量的影響。

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因此，160Ω電阻與10 nF電容相結(jié)合，將為我們提供一個(gè)非常接近所需頻率響應(yīng)的濾波器。

計(jì)算濾波器響應(yīng)

我們可以通過使用典型分壓器計(jì)算的頻率相關(guān)版本來計(jì)算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如下：

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RC濾波器使用等效結(jié)構(gòu)，但是我們有一個(gè)電容器代替R 2。首先，我們用電容器的電抗(X C)代替R 2(在分子中)。接下來，我們需要計(jì)算總阻抗的大小并將其放在分母中。因此，我們有

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電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決于通過電容器的信號頻率。因此，我們必須計(jì)算特定頻率的電抗，我們用于此的等式如下：

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在上面的設(shè)計(jì)實(shí)例中，R≈160Ω 且 C = 10nF。我們假設(shè)V IN的幅度是1 V，這樣我們就可以簡單地從計(jì)算中去掉V IN。首先讓我們以正弦波頻率計(jì)算V OUT的幅度：

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正弦波的幅度基本不變。這很好，因?yàn)槲覀兊哪康氖窃谝种圃胍舻耐瑫r(shí)保持正弦波。這個(gè)結(jié)果并不令人驚訝，因?yàn)槲覀冞x擇的截止頻率(100 kHz)遠(yuǎn)高于正弦波頻率(5 kHz)。

現(xiàn)在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量。

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噪聲幅度僅為其原始值的約20%。

可視化濾波器響應(yīng)

評估濾波器對信號影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應(yīng)的圖。這些圖形通常稱為波德圖，在垂直軸上具有幅度(以分貝為單位)，在水平軸上具有頻率; 水平軸通常具有對數(shù)標(biāo)度，使得1Hz和10Hz之間的物理距離與10Hz和100Hz之間，100Hz和1kHz之間的物理距離相同等等。這種配置使我們能夠快速準(zhǔn)確地評估濾波器在很大頻率范圍內(nèi)的行為。

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頻率響應(yīng)圖的一個(gè)例子。

曲線上的每個(gè)點(diǎn)表示如果輸入信號的幅度為1 V且頻率等于水平軸上的相應(yīng)值，則輸出信號將具有的幅度。例如，當(dāng)輸入頻率為1 MHz時(shí)，輸出幅度(假設(shè)輸入幅度為1 V)將為0.1 V(因?yàn)?20 dB對應(yīng)于十倍減少因子)。

當(dāng)您花費(fèi)更多時(shí)間使用濾波器電路時(shí)，此頻率響應(yīng)曲線的一般形狀將變得非常熟悉。通帶中的曲線幾乎完全平坦，然后隨著輸入頻率接近截止頻率，它開始下降得更快。最終，衰減的變化率(稱為滾降)穩(wěn)定在20 dB / decade-即，輸入頻率的每增加十倍，輸出信號的幅度降低20 dB。

評估低通濾波器性能

如果我們仔細(xì)繪制我們在本文前面設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)，我們將看到5 kHz時(shí)的幅度響應(yīng)基本上是0 dB(即幾乎為零衰減)，500 kHz時(shí)的幅度響應(yīng)約為-14 dB(對應(yīng)于0.2的增益)。這些值與我們在上一節(jié)中執(zhí)行的計(jì)算結(jié)果一致。

由于RC濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過渡，并且因?yàn)樗p永遠(yuǎn)不會達(dá)到無窮大，我們無法設(shè)計(jì)出“完美”的濾波器 - 即對正弦波沒有影響并完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權(quán)衡。如果我們將截止頻率移近5 kHz，我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發(fā)送到揚(yáng)聲器的正弦波衰減更多。如果我們將截止頻率移近500 kHz，我們在正弦波頻率下的衰減會減少，但噪聲頻率下的衰減也會減少。

低通濾波器相移

到目前為止，我們已經(jīng)討論了濾波器修改信號中各種頻率分量幅度的方式。然而，除了幅度效應(yīng)之外，電抗性電路元件總是引入相移。

相位的概念是指周期內(nèi)特定時(shí)刻的周期信號的值。因此，當(dāng)我們說電路引起相移時(shí)，我們的意思是它會在輸入信號和輸出信號之間產(chǎn)生不對準(zhǔn)：輸入和輸出信號不再在同一時(shí)刻開始和結(jié)束它們的周期。相移值(例如45°或90°)表示已創(chuàng)建多少未對準(zhǔn)。

電路中的每個(gè)電抗元件都會引入90°的相移，但這種相移不會同時(shí)發(fā)生。輸出信號的相位與輸出信號的幅度一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。在RC低通濾波器中，我們有一個(gè)電抗元件(電容器)，因此電路最終會引入90°的相移。

與幅度響應(yīng)一樣，通過檢查水平軸表示對數(shù)頻率的曲線圖，可以最容易地評估相位響應(yīng)。下面的描述傳達(dá)了一般模式，然后您可以通過檢查繪圖來填寫詳細(xì)信息。

相移最初為0°。

它逐漸增加，直到它在截止頻率達(dá)到45°; 在這部分響應(yīng)期間，變化率正在增加。在截止頻率之后，相移繼續(xù)增加，但變化率正在降低。

隨著相移漸近接近90°，變化率變得非常小。

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實(shí)線是幅度響應(yīng)，虛線是相位響應(yīng)。截止頻率為100 kHz。注意，截止頻率下的相移為45°。

二階低通濾波器

到目前為止，我們假設(shè)RC低通濾波器由一個(gè)電阻器和一個(gè)電容器組成。此配置是一階濾波器。

無源濾波器的“次序”由電路中存在的電抗元件(即電容器或電感器)的數(shù)量決定。高階濾波器具有更多的無功元件，這導(dǎo)致更多的相移和更陡的滾降。第二個(gè)特征是增加濾波器順序的主要動機(jī)。

通過向?yàn)V波器添加一個(gè)電抗元件 - 例如，從一階到二階或二階到三階 - 我們將最大滾降增加20 dB /十倍。更陡峭的滾降轉(zhuǎn)換為從低衰減到高衰減的更快速轉(zhuǎn)換，并且當(dāng)信號不具有將期望頻率分量與噪聲分量分離的寬頻帶時(shí)，這可以導(dǎo)致改善的性能。

二階濾波器通常圍繞由電感器和電容器組成的諧振電路構(gòu)建(這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)稱為“RLC”，用于電阻器 - 電感器 - 電容器)。但是，也可以創(chuàng)建二階RC濾波器。如下圖所示，我們需要做的就是級聯(lián)兩個(gè)一階RC濾波器。

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雖然這種拓?fù)淇隙〞a(chǎn)生二階響應(yīng)，但它沒有被廣泛使用 - 正如我們將在下一節(jié)中看到的那樣，頻率響應(yīng)通常不如二階有源濾波器或二階RLC濾波器。

二階RC濾波器的頻率響應(yīng)

我們可以嘗試通過根據(jù)所需的截止頻率設(shè)計(jì)一階濾波器然后將這些一階級中的兩個(gè)串聯(lián)連接來創(chuàng)建二階RC低通濾波器。這確實(shí)導(dǎo)致濾波器具有類似的總頻率響應(yīng)，最大滾降為40 dB / decade而不是20 dB / decade。

但是，如果我們更仔細(xì)地觀察響應(yīng)，我們會發(fā)現(xiàn)-3 dB頻率已經(jīng)降低。二階RC濾波器的行為不符合預(yù)期，因?yàn)閮蓚€(gè)階段不是獨(dú)立的 - 我們不能簡單地將這兩個(gè)階段連接在一起，并將電路分析為一階低通濾波器，然后是相同的一階低通過濾。

此外，即使我們在兩級之間插入緩沖器，使得第一RC級和第二RC級可以用作獨(dú)立濾波器，原始截止頻率處的衰減將是6dB而不是3dB。這恰恰是因?yàn)閮蓚€(gè)階段獨(dú)立工作 - 第一個(gè)濾波器在截止頻率處具有3 dB的衰減，而第二個(gè)濾波器增加了另外3 dB的衰減。

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二階RC低通濾波器的基本限制是設(shè)計(jì)人員無法通過調(diào)整濾波器的Q因子來微調(diào)從通帶到阻帶的轉(zhuǎn)換; 此參數(shù)表示頻率響應(yīng)的阻尼程度。如果級聯(lián)兩個(gè)相同的RC低通濾波器，則整體傳遞函數(shù)對應(yīng)于二階響應(yīng)，但Q因子始終為0.5。當(dāng)Q = 0.5時(shí)，濾波器處于過阻尼的邊界，這導(dǎo)致在過渡區(qū)域中“下垂”的頻率響應(yīng)。二階有源濾波器和二階諧振濾波器沒有這個(gè)限制; 設(shè)計(jì)人員可以控制Q因子，從而微調(diào)過渡區(qū)域的頻率響應(yīng)。

小結(jié)

所有電信號都包含所需頻率分量和不需要的頻率分量的混合。不期望的頻率分量通常由噪聲和干擾引起，并且在某些情況下它們將對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生負(fù)面影響。

濾波器是以不同方式對信號頻譜的不同部分作出反應(yīng)的電路。低通濾波器旨在傳遞低頻分量并阻止高頻分量。

低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減轉(zhuǎn)變?yōu)轱@著衰減的頻率區(qū)域。

RC低通濾波器的輸出電壓可以通過將電路視為由(頻率無關(guān))電阻和(頻率相關(guān))電抗組成的分壓器來計(jì)算。

幅度(以dB為單位，在垂直軸上)與對數(shù)頻率(以赫茲為單位，在水平軸上)的曲線圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法，你還可以使用相位與對數(shù)頻率的關(guān)系圖來確定將應(yīng)用于輸入信號的相移量。

二階濾波器提供更陡峭的滾降; 當(dāng)信號不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時(shí)，這種二階響應(yīng)是有用的。

你可以通過構(gòu)建兩個(gè)相同的一階RC低通濾波器，然后將一個(gè)輸出連接到另一個(gè)的輸入來創(chuàng)建二階RC低通濾波器，整體-3 dB頻率將低于預(yù)期。

審核編輯：湯梓紅