Butterworth濾波器設(shè)計(jì)的詳解

從本節(jié)開始深入討論各種不同濾波器設(shè)計(jì)，本節(jié)是Butterworth濾波器綜合設(shè)計(jì)，結(jié)合之前電路仿真的工作，現(xiàn)將Butterworth型濾波器集成到了濾波器設(shè)計(jì)App中，并提供一個(gè)試用版本，提供GitHub開源鏈接。

Butterworth濾波器特點(diǎn)和用途

Butterworth濾波器是Stephen Butterworth于1930年首先發(fā)表于眾參考[模擬無(wú)源濾波器設(shè)計(jì)（一）]，特點(diǎn)是其具有最平坦頻率響應(yīng)，故很多地方將其稱為最平響應(yīng)濾波器，其最平坦響應(yīng)濾波器可能會(huì)被有些工程師所誤解，認(rèn)為其頻率響應(yīng)最為平坦，實(shí)際上這里最平響應(yīng)是指在DC附近(低通濾波器)具有最平坦響應(yīng)，也就是說(shuō)在頻率為0處其頻率響應(yīng)高階導(dǎo)數(shù)為0(注，由于其傳輸函數(shù)中含有特征多項(xiàng)式，為濾波器階數(shù)，所以不管求導(dǎo)多少次都在0頻率處取得0值)。實(shí)際上Butterworth濾波器在接近截止頻率處頻率響應(yīng)并不好。

Butterworth濾波器的另外一個(gè)特點(diǎn)是其數(shù)學(xué)分析和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)都比較簡(jiǎn)單，有較好的相位特性，濾波器所需要的器件容易獲得故其得到了廣泛的應(yīng)用。

關(guān)于Butterworth本人的相關(guān)信息可以參考翻譯文章。

匹配型Butterworth濾波器綜合

匹配型Butterworth濾波器的幅頻響應(yīng)為: 是對(duì) 歸一化頻率，即 .

由之前討論的由功率反射一套理論可以由幅頻響應(yīng)得到功率損失，進(jìn)而由反射相關(guān)理論得到輸入阻抗，最后由輾轉(zhuǎn)相除法得到器件值，由之前的阻抗值：

其中固定為 , 比較難些，稱其為巴特沃斯多項(xiàng)式，這里直接引用計(jì)算得到的通項(xiàng)公式：式中：由輾轉(zhuǎn)相除的方法計(jì)算前幾項(xiàng)并總結(jié)規(guī)律得到，第個(gè)枝節(jié)器件值為：

任意頻率處衰減的濾波器綜合

以上是對(duì)截止頻率為-3dB下的濾波器綜合，當(dāng)截止頻率為并且此處的頻率響應(yīng)為: 在的衰減為：系數(shù) 和反射系數(shù)有關(guān)：當(dāng)反射系數(shù) 為0.707時(shí)，有一半功率反射時(shí)，即-3dB衰減，有，這時(shí)頻率響應(yīng)曲線和匹配型公式一致。

此時(shí)對(duì)應(yīng)的元件公式為: 其中：

由衰減確定濾波器階數(shù)

設(shè)濾波器綜合的通帶頻率為，其衰減為 dB，截止頻率為，其衰減為 dB.示意圖如下：

所要求的通帶到阻帶的衰減是，可以通過計(jì)算得到衰減和階數(shù)關(guān)系為：

非匹配型Butterworth濾波器綜合

上述公式是匹配型濾波器設(shè)計(jì)公式，當(dāng)輸入輸出阻抗不匹配時(shí)，其傳輸函數(shù)：其中，由最初的定義，當(dāng) 時(shí)和匹配型濾波器一樣：

令: 這里實(shí)際上只需要討論一種情況即可，如，則對(duì)于的情況只需要簡(jiǎn)單的將電路器件反序過來(lái)即可。

系數(shù) 和衰減的關(guān)系為：具體歸一化的LPF濾波器器件值為：

詳細(xì)推導(dǎo)過程可以參閱。

設(shè)計(jì)實(shí)例

這里以3階Butterworth低通濾波器為例說(shuō)明，設(shè) ，得到:

所以得到：由于這里的參數(shù)均是相對(duì)于T型網(wǎng)絡(luò) 計(jì)算的，所以最終的電路參數(shù)為：電路如下：

不同濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換

只要有了低通(LP)濾波器原型，那么高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BR)濾波器參數(shù)可以非常容易的求得。

低通濾波器到高通濾波器

我們只需要將，都知道電容的容抗為，電感的感抗為，所以將其中的替換為得到：

這樣即可將低通轉(zhuǎn)換為高通，由于和之間是倒數(shù)的關(guān)系，當(dāng) 時(shí)那么，當(dāng) 時(shí)那么，當(dāng) 時(shí)那么，這也就是說(shuō)低通的阻帶是高通的通帶，低通的通帶是高通的阻帶，低通的截止頻率和高通的截止頻率相等。

低通濾波器到帶通濾波器

我們只需要將，這里可以將帶通濾波器理解為高通濾波器+低通濾波器組成(兩個(gè)濾波器串聯(lián))，從轉(zhuǎn)換公式可以看到代表低通, 代表高通，兩者疊加變?yōu)閹ǎ覀冇蒙厦娴霓k法分別對(duì)低通的電感和電容做替換：

這樣即可將低通轉(zhuǎn)換為帶通，由于函數(shù)是一個(gè)對(duì)鉤函數(shù)，即兩頭高，中間低，當(dāng) 時(shí)那么，當(dāng) 時(shí)那么，當(dāng) 時(shí)那么，這里是以實(shí)頻率來(lái)說(shuō)的，實(shí)際上電容電感阻抗是有虛部的，為簡(jiǎn)單直觀起見這里并未考慮。

低通濾波器到帶阻濾波器

帶阻可以理解為帶通的倒數(shù)，我們只需要將，這里可以將帶通濾波器理解為高通濾波器//低通濾波器組成(兩個(gè)濾波器并聯(lián))，從轉(zhuǎn)換公式可以看到代表低通, 代表高通，兩者疊加變?yōu)閹ё?，我們用前面的辦法分別對(duì)低通的電感和電容做替換：

這樣即可將低通轉(zhuǎn)換為帶阻，分析方法和前面類似，讀者可以自行分析。

濾波器的零極點(diǎn)分析

Butterworth低通濾波器的極點(diǎn)在一個(gè)圓上，可以通過的公式(這里僅僅討論匹配型Butterworth)可以推導(dǎo): 令公式的分母等于0，得到極點(diǎn)位置公式為：根據(jù)歐拉公式并且做個(gè)拓展后可以得到: 可見上的點(diǎn)落在一個(gè)圓上，我們?nèi)?fù)平面的左邊極點(diǎn)即可得到的通項(xiàng)公式。

另外濾波器頻率響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)息息相關(guān)，所以在濾波器電路分析中我們可以通過零極點(diǎn)來(lái)判斷濾波器狀態(tài)。典型的應(yīng)用是濾波器電路參數(shù)和零極點(diǎn)的靈敏度的關(guān)系，從而可以找出敏感器件。

不同通帶類型濾波器零極點(diǎn)圖如下：