由于場外期權(quán)合約的買賣在交易雙方間私下進行而非通過公開市場，因而可能很難確定合約的價格有利于買方還是賣方。為對這些合約進行定價，金融分析師往往依據(jù)看漲期權(quán)或看跌期權(quán)價格估算出風險中性密度（RND）值。常規(guī)做法是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來確定定價模型的參數(shù)值，進而估算 RND 值。

根據(jù)參數(shù)定價模型估算 RND 有幾個缺點：

如處理時間較長而且可能存在誤差。簡單模型可快速完成調(diào)試，但很可能會與金融數(shù)據(jù)的一些歷史經(jīng)驗特征不一致，生成的結(jié)果誤差較大；復雜模型能夠提供更精確的結(jié)果，但所需調(diào)試時間較長 — 如果沒有閉式解（解析解），通常需要長達數(shù)小時。即使復雜的模型能夠提供看似合理的結(jié)果，也可能由于沒有應(yīng)用有效的數(shù)值分析技術(shù)而存在偏差。此外，由于定價模型主要依據(jù)歷史數(shù)據(jù)，由建模人員自行決定需要采納的歷史數(shù)據(jù)量——這種主觀決定會影響結(jié)果。

Aarhus 大學的研究團隊開發(fā)了一款非結(jié)構(gòu)化無模型 RND 估算方法，不依賴參數(shù)化模型，而是完全由數(shù)據(jù)自身決定。這種方法利用當前數(shù)據(jù)（而非歷史數(shù)據(jù)）通過正交多項式展開式估算 RND 和期權(quán)敏感度指標（Greeks），這樣能夠比應(yīng)用模型的方法更快得到結(jié)果 — 通常僅需幾秒鐘來估算 RND。

為演示我們的方法，便于學生、分析師和研究人員進行應(yīng)用，我們將它封裝為 MATLAB 應(yīng)用程序（圖 1）。我們在兩篇文章中對該方法進行了詳述 ，A Non-Structural Investigation of VIX Risk Neutral Density（估算 RND）和 It Only Takes a Few Moments to Hedge（估算敏感度指標），并用 Risk-Neutral Density Fitting Tool 應(yīng)用程序具體實現(xiàn)了該方法。

圖1：Risk-Neutral Density Fitting Tool 應(yīng)用程序。

我們?yōu)槭裁催x擇 MATLAB

我們決定創(chuàng)建 MATLAB 應(yīng)用程序估算 RND，因為我們希望研究成果得到廣泛應(yīng)用，而不是僅限于在量化經(jīng)濟學領(lǐng)域或是熟悉 MATLAB 編程的金融研究人員使用。

我們發(fā)現(xiàn)，MATLAB 大大加快了開發(fā)進度。我們在兩到三個月內(nèi)完成了大部分開發(fā)工作 — 據(jù)估算，使用傳統(tǒng)編譯語言大約需要兩年時間。 MATLAB 是一種解釋型語言并基于 JIT 編譯器運行，這令我們避免了繁瑣的“編輯-編譯-測試”周期；相反，我們采用交互形式開發(fā)方法，調(diào)用 MATLAB 中的函數(shù)并反復檢查結(jié)果。不依靠第三方庫，也無需自行編寫線性回歸、主成分分析及其他功能算法，而是利用Curve Fitting Toolbox、Financial Toolbox、Optimization Toolbox 和 Statistics and Machine Learning Toolbox 等工具包中經(jīng)過驗證的函數(shù)。使用解釋型語言時，運算性能是我們關(guān)注的問題。但是，通過采用 MATLAB 中的向量化運算和優(yōu)化的函數(shù)，其性能與編譯語言基本接近。

除了加快實施我們的 RND 方法之外，MATLAB 還可以輕松構(gòu)建界面并將其與底層代碼封裝成為一款應(yīng)用程序。我們使用 MATLAB 應(yīng)用程序開發(fā)工具設(shè)計窗口、按鈕及界面中的其他控件。然后，將完整應(yīng)用程序封裝為單一安裝程序文件，并發(fā)布到項目的 GitHub 頁面供用戶下載。

通過應(yīng)用程序估算 RND 并查找敏感度指標 (Greeks)

下載并安裝應(yīng)用程序后，通常先從 Option Metrics 或 Chicago Board Options Exchange （Cboe）等數(shù)據(jù)源加載期權(quán)價格數(shù)據(jù)（MATLAB應(yīng)用程序支持直接調(diào)用這兩個數(shù)據(jù)源）。然后用戶檢查輸入數(shù)據(jù)對應(yīng)的價格曲線并根據(jù)需要調(diào)整行權(quán)價格的上下限（看跌或看漲期權(quán)最低和最高行權(quán)價格）。之后用戶選擇核、展開式階數(shù)以及用于估算展開系數(shù)的方法（例如，主成分分析）。核指定概率分布,為 RND 提供一個初始值；而展開式階數(shù)則定義正交多項式數(shù)量，“校正”核來估算 RND。

此應(yīng)用程序包含多個內(nèi)置核，包括 beta gamma、廣義逆高斯、廣義 Weibull 和對數(shù)正態(tài)，而且用戶可以通過自己編寫 MATLAB 函數(shù)來對內(nèi)置核進行擴展。展開式階數(shù)越高，展開式就越精確，但估算所需的時間也會更長（圖 2）。

圖 2：隱含波動曲線及使用廣義 Weibull 核、主成分分析和 17階 展開式估算出的 RND 值。

圖示中使用的數(shù)據(jù)集包含 2011 年 12 月 21 日在 Cboe Volatility Index (VIX) 上的 1 月期看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。

最后，計算敏感性指標 delta、gamma 和 vega，用戶只需單擊應(yīng)用程序的“查找敏感度指標”按鈕。界面中會顯示這三個指標圖（圖 3）。

圖3：敏感度指標圖：看漲期權(quán) delta、 gamma 和 vega。

所有圖均可另存為 MATLAB 圖像或者 PNG、PDF 或 EPS 文件，所有結(jié)果均可導出并保存以便進一步分析。

將來升級的功能

從我們收到的反饋來看，用戶對于該應(yīng)用程序予以了肯定?；谶@些反饋，我們將進一步改進應(yīng)用程序并規(guī)劃對其的升級。例如，我們考慮在分析中添加時間點和到期日，我們將研究使用多變量密度，并應(yīng)用期權(quán)價格的歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測整個密度曲線，而非僅在某一個時間點的曲線。