量子電路的兩點(diǎn)特殊

Axiom 1：Superposition principle

量子態(tài)是可以疊加的。

而疊加態(tài)的性質(zhì)賦予了量子指數(shù)增長(zhǎng)的可能。

一個(gè)量子比特就是二維Hilbert空間中的向量，兩個(gè)量子比特就是四維Hilbert空間的中向量，三個(gè)就是八維，nn個(gè)量子比特就是2n2n維Hilbert空間中的向量。

另外，需要注意的一點(diǎn)是，即使我只是在一個(gè)量子比特上操作，變化的也是整個(gè)系統(tǒng)。

Axiom 2：Unitary Evolution

量子電路和經(jīng)典另一個(gè)重要的不同就是量子電路是可逆的。

經(jīng)典電路沒(méi)有可逆的要求，比如OR門(mén)，如果輸出是１，你知道輸入是什么嗎？(1,1)、(1,0)、(0,1)都有可能，因?yàn)樾畔G失了，四種輸入的可能，輸出卻只有兩種，信息丟失了。

而量子的操作變換則必須是酉變換，即，可逆，我可以根據(jù)我輸出的信息反推我的輸入。

量子可逆電路

經(jīng)典可逆電路其實(shí)是比較容易的。

NOT門(mén)，他自己就是可逆的，取反再取反就是本身。

AND門(mén)，C-SWAP門(mén)其實(shí)就可以代替AND門(mén)

將z固定為0，則c只有在x和y都為1的時(shí)候?yàn)?，其余時(shí)候?yàn)?，滿足AND門(mén)的要求。同時(shí)因?yàn)橛衋和b的存在，可以輕易的推導(dǎo)出x,y。

如果將希望能夠從輸出推導(dǎo)出輸入，那么顯然，會(huì)有junk bit(垃圾比特)的存在，即除了我們想要目標(biāo)以外的結(jié)果，不是我們想要的目的，但是是我們推導(dǎo)輸入不可或缺的存在，對(duì)于C-SWAP門(mén)來(lái)說(shuō)，就是a,b。

junk bit對(duì)于經(jīng)典比特來(lái)說(shuō)，就是多出來(lái)的比特而已，但是對(duì)于量子比特來(lái)說(shuō)，卻是需要被remove的東西。如果不處理，會(huì)影響后續(xù)的計(jì)算。所以說(shuō)，設(shè)計(jì)量子電路，第一個(gè)問(wèn)題其實(shí)不是量子電路能夠比經(jīng)典電路加速多少倍，而是量子電路是否可以做到經(jīng)典電路做到的事。

為什么要移除垃圾比特

對(duì)于經(jīng)典比特來(lái)說(shuō)，我不需要的比特，直接不要就可以了。我的后續(xù)操作中不涉及這些垃圾比特就沒(méi)有關(guān)系，但是因?yàn)橛辛孔酉喔傻拇嬖?，如果我直接不管垃圾比特?huì)讓后續(xù)的測(cè)量得到完全不一樣的結(jié)果。

例子：

令我們的目標(biāo)函數(shù)是f(x)=x，A是沒(méi)有垃圾比特的情況，即，我們輸入什么輸出什么。而B(niǎo)是有垃圾比特情況，第一個(gè)比特存目標(biāo)答案，f(x)=x，第二個(gè)比特是我們的垃圾比特，假設(shè)這里的垃圾比特是junk(x)=x。

例子A：

在A的情況下，如果我們的輸入是12√|0?+12√|1?12|0?+12|1?，經(jīng)過(guò)A門(mén)，還是12√|0?+12√|1?12|0?+12|1?，在H門(mén)后，我們的比特又變成了|0?|0?，此時(shí)測(cè)量，得到的結(jié)果一定是|0?|0?。

例子B：

在B的情況下，如果我們的輸入是(12√|0?+12√|1?)|0?(12|0?+12|1?)|0?，經(jīng)過(guò)A門(mén)，則變成了12√|00?+12√|11?12|00?+12|11?，此時(shí)對(duì)第一個(gè)比特進(jìn)行H門(mén)操作，得到結(jié)果12|00?+12|10?+12|10??12|10?12|00?+12|10?+12|10??12|10?。此時(shí)對(duì)第一個(gè)比特測(cè)量，得到的結(jié)果是|0?|0?或者是|1?|1?的概率是一樣的。

因?yàn)橛辛说诙€(gè)比特的存在，所以上述式子中的??不能直接抵消第一個(gè)比特為|1?|1?的可能性，這也就是垃圾比特不得不移除的原因。

如何移除垃圾比特

垃圾比特對(duì)后續(xù)有影響，那么將他移除就好了，因?yàn)榱孔拥牟僮魇强赡娴?，所以怎么?lái)的怎么回去。

但是在回去之前，把我們需要的目標(biāo)C(x)C(x)的量子態(tài)用CNOT門(mén)復(fù)制出來(lái)就好。這樣就得到了沒(méi)有垃圾比特的結(jié)果。

可能有人想問(wèn)，不是量子態(tài)不能復(fù)制嗎？事實(shí)上，我們并沒(méi)有復(fù)制C(x)C(x)的結(jié)果，當(dāng)我們把結(jié)果從原來(lái)的比特上轉(zhuǎn)移到y(tǒng)上后，原來(lái)的比特和垃圾比特又通過(guò)逆操作返回了最初的情況。垃圾比特最初的狀態(tài)是|0?|0?，并非疊加態(tài)的情況，量子的糾纏或者相干是因?yàn)橛辛孔盈B加態(tài)，不是純態(tài)的原因，而今回到純態(tài)，就不在造成影響。

編輯：hfy