如何理解泛化是深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域尚未解決的基礎(chǔ)問題之一。為什么使用有限訓(xùn)練數(shù)據(jù)集優(yōu)化模型能使模型在預(yù)留測(cè)試集上取得良好表現(xiàn)？這一問題距今已有 50 多年的豐富歷史，并在機(jī)器學(xué)習(xí)中得到廣泛研究。如今有許多數(shù)學(xué)工具可以用來幫助研究人員了解某些模型的泛化能力。但遺憾的是，現(xiàn)有的大多數(shù)理論都無法應(yīng)用到現(xiàn)代深度網(wǎng)絡(luò)中，這些理論在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中顯得既空泛又不可預(yù)測(cè)。而理論和實(shí)踐之間的差距 在過度參數(shù)化模型中尤為巨大，這類模型在理論上能夠擬合訓(xùn)練集，但在實(shí)踐中卻不能做到。

豐富歷史

數(shù)學(xué)工具

過度參數(shù)化

在《Deep Bootstrap 框架：擁有出色的在線學(xué)習(xí)能力即是擁有出色的泛化能力》（The Deep Bootstrap Framework： Good Online Learners are Good Offline Generalizers）（收錄于 ICLR 2021）這篇論文中，我們提出了一個(gè)解決此問題的新框架，該框架能夠?qū)⒎夯c在線優(yōu)化領(lǐng)域聯(lián)系起來。在通常情況下，模型會(huì)在有限的樣本集上進(jìn)行訓(xùn)練，而這些樣本會(huì)在多個(gè)訓(xùn)練周期中被重復(fù)使用。但就在線優(yōu)化而言，模型可以訪問無限的樣本流，并且可以在處理樣本流的同時(shí)進(jìn)行迭代更新。在這項(xiàng)研究中，我們發(fā)現(xiàn)，能使用無限數(shù)據(jù)快速訓(xùn)練的模型，它們?cè)谟邢迶?shù)據(jù)上同樣具有良好的泛化表現(xiàn)。二者之間的這種關(guān)聯(lián)為設(shè)計(jì)實(shí)踐提供了新思路，同時(shí)也為從理論角度理解泛化找到了方向。

《Deep Bootstrap 框架：擁有出色的在線學(xué)習(xí)能力即是擁有出色的泛化能力》

Deep Bootstrap 框架

Deep Bootstrap 框架的主要思路是將訓(xùn)練數(shù)據(jù)有限的現(xiàn)實(shí)情況與數(shù)據(jù)無限的“理想情況”進(jìn)行比較。它們的定義如下：

現(xiàn)實(shí)情況（N、T）：使用來自一個(gè)分布的 N 個(gè)訓(xùn)練樣本訓(xùn)練模型；在 T 個(gè)小批量隨機(jī)梯度下降 （SGD） 步驟中，照常在多個(gè)訓(xùn)練周期中重復(fù)使用這 N 個(gè)樣本。這相當(dāng)于針對(duì)經(jīng)驗(yàn)損失（訓(xùn)練數(shù)據(jù)的損失）運(yùn)行 SGD 算法，這是監(jiān)督學(xué)習(xí)中的標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練程序。

理想情況（T）：在 T 個(gè)步驟中訓(xùn)練同一個(gè)模型，但在每個(gè) SGD 步驟中使用來自分布的新樣本。也就是說，我們運(yùn)行相同的訓(xùn)練代碼（相同的優(yōu)化器、學(xué)習(xí)速率、批次大小等），但在每個(gè)訓(xùn)練周期中采用全新的訓(xùn)練樣本集，而不是重復(fù)使用相同的樣本。理想情況下，對(duì)于一個(gè)幾乎達(dá)到無限的“訓(xùn)練集”而言，其訓(xùn)練誤差和測(cè)試誤差之間相差無幾。

在 SGD 迭代期間 ResNet-18 架構(gòu)理想情況及現(xiàn)實(shí)情況的測(cè)試軟誤差?？梢钥吹剑瑑煞N誤差非常相近

一般而言，我們認(rèn)為現(xiàn)實(shí)情況和理想情況不會(huì)有任何關(guān)聯(lián)，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界中用于模型處理的來自分布的示例數(shù)量是有限的，而在理想世界中模型處理的示例數(shù)量是無限的。但在實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情況模型和理想情況模型之間的測(cè)試誤差非常相近。

為了將此觀察結(jié)果量化，我們通過創(chuàng)建一個(gè)名為 CIFAR-5m 的數(shù)據(jù)集模擬了一種理想情況。我們使用 CIFAR-10 訓(xùn)練了一個(gè)生成模型，然后利用該模型生成約六百萬個(gè)圖像。選擇生成這么多圖像的目的是為了使此數(shù)據(jù)集對(duì)于模型而言具有“近乎無限性”，從而避免模型重復(fù)采樣相同的數(shù)據(jù)。也就是說，在理想情況下，模型面對(duì)的是一組全新的樣本。

CIFAR-5m

生成模型

下圖給出了幾種模型的測(cè)試誤差，對(duì)比了它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)情況（如重復(fù)使用數(shù)據(jù)）和理想情況（使用“全新”數(shù)據(jù)）中使用 CIFAR-5m 數(shù)據(jù)訓(xùn)練的表現(xiàn)。藍(lán)色實(shí)線展示了 ResNet 模型在現(xiàn)實(shí)情況下使用標(biāo)準(zhǔn) CIFAR-10 超參數(shù)針對(duì) 50000 個(gè)樣本訓(xùn)練 100 個(gè)周期的表現(xiàn)。藍(lán)色虛線展示了同樣的模型在理想情況下使用五百萬個(gè)樣本一次性訓(xùn)練完畢的表現(xiàn)。出人意料的是，現(xiàn)實(shí)情況和理想情況下的測(cè)試誤差非常接近，在某種程度上模型并不會(huì)受到樣本是重復(fù)使用還是全新的影響。

現(xiàn)實(shí)情況下的模型使用 50000 個(gè)樣本訓(xùn)練 100 個(gè)周期，理想情況下的模型使用五百萬個(gè)樣本訓(xùn)練一個(gè)周期。圖中的線展示了測(cè)試誤差以及 SGD 步驟的執(zhí)行次數(shù)

這個(gè)結(jié)果也適用于其他架構(gòu)，如多層感知架構(gòu)（紅線）、視覺 Transformer（綠線），以及許多其他架構(gòu)、優(yōu)化器、數(shù)據(jù)分布和樣本大小設(shè)置。從這些實(shí)驗(yàn)中，我們得出了一個(gè)關(guān)于泛化的新觀點(diǎn)，即能使用無限數(shù)據(jù)快速優(yōu)化的模型，同樣能使用有限數(shù)據(jù)進(jìn)行良好的泛化。例如，ResNet 模型使用有限數(shù)據(jù)進(jìn)行泛化的能力要優(yōu)于 MLP 模型，其原因在于 ResNet 模型使用無限數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化的速度更快。

多層感知

基于優(yōu)化行為理解泛化

我們從中得出一個(gè)重要的觀察結(jié)果，即直到現(xiàn)實(shí)情況開始收斂前，現(xiàn)實(shí)情況和理想情況下的模型在所有時(shí)刻的測(cè)試誤差都非常接近（訓(xùn)練誤差 《 1%）。因此，我們可以通過研究模型在理想情況下的行為來理解它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)情況下的表現(xiàn)。

也就是說，模型的泛化可以通過研究其在兩種框架下的優(yōu)化表現(xiàn)來理解：

1. 在線優(yōu)化：其用于在理想情況下觀察測(cè)試誤差的減小速度

2. 離線優(yōu)化：其用于在現(xiàn)實(shí)情況下觀察訓(xùn)練誤差的收斂速度

因此，研究泛化時(shí)，我們可以相應(yīng)地研究上述兩個(gè)方面，它們僅涉及優(yōu)化問題，因此在概念上較為簡(jiǎn)單。通過這項(xiàng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)出色的模型和訓(xùn)練程序均符合兩個(gè)條件：（1） 能在理想情況下快速優(yōu)化；（2） 在現(xiàn)實(shí)情況下的優(yōu)化速度較慢。

所有深度學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方案都能通過了解它們?cè)谶@兩方面的表現(xiàn)來進(jìn)行評(píng)估。例如，一些改進(jìn)，比如卷積、殘差連接和預(yù)訓(xùn)練等，其主要作用是加速理想情況的優(yōu)化，而另一些改進(jìn)，比如正則化和數(shù)據(jù)增強(qiáng)等，其主要作用則是減慢現(xiàn)實(shí)情況的優(yōu)化。

應(yīng)用 Deep Bootstrap 框架

研究人員可以使用 Deep Bootstrap 框架來研究和指導(dǎo)深度學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方案。它所依循的原則是：每當(dāng)我們做出影響現(xiàn)實(shí)情況泛化能力的更改時(shí)（架構(gòu)、學(xué)習(xí)速率等），我們都應(yīng)考慮它對(duì)以下兩方面帶來的影響：（1） 理想情況的測(cè)試誤差優(yōu)化（越快越好）以及 （2） 現(xiàn)實(shí)情況的訓(xùn)練誤差優(yōu)化（越慢越好）。

例如， 預(yù)訓(xùn)練在實(shí)踐中通常用于促進(jìn)小數(shù)據(jù)體系中的模型泛化。然而，人們對(duì)預(yù)訓(xùn)練發(fā)生作用的機(jī)理知之甚少。我們可以使用 Deep Bootstrap 框架，通過觀察預(yù)訓(xùn)練對(duì)上述兩方面形成的影響研究這個(gè)問題。我們發(fā)現(xiàn)，預(yù)訓(xùn)練的主要作用是促進(jìn)理想情況的優(yōu)化 （1），即使網(wǎng)絡(luò)能夠“快速學(xué)習(xí)”在線優(yōu)化。預(yù)訓(xùn)練模型泛化能力的增強(qiáng)幾乎總能帶來其在理想情況下優(yōu)化能力的提高。下圖比較了使用 CIFAR-10 訓(xùn)練的視覺 Transformers （ViT） 在 ImageNet 上從零開始訓(xùn)練和預(yù)訓(xùn)練之間的差別。

ImageNet

預(yù)訓(xùn)練的作用：經(jīng)過預(yù)訓(xùn)練的 ViT 在理想情況下的優(yōu)化速度更快

我們還可以使用此框架研究數(shù)據(jù)增強(qiáng)。在理想情況下的數(shù)據(jù)增強(qiáng)相當(dāng)于對(duì)每個(gè)新樣本進(jìn)行一次增強(qiáng)，而不是對(duì)同一個(gè)樣本進(jìn)行多次增強(qiáng)。此框架意味著好的數(shù)據(jù)增強(qiáng)均符合兩個(gè)條件：（1） 不會(huì)嚴(yán)重?fù)p害理想情況的優(yōu)化（即增強(qiáng)樣本的分布不會(huì)過于“失范”），（2） 抑制現(xiàn)實(shí)情況的優(yōu)化速度（以使現(xiàn)實(shí)世界花更多時(shí)間擬合其訓(xùn)練集）。

數(shù)據(jù)增強(qiáng)的主要作用通過第二條：延長(zhǎng)現(xiàn)實(shí)情況的優(yōu)化時(shí)間來實(shí)現(xiàn)。關(guān)于第一條，一些激進(jìn)的數(shù)據(jù)增強(qiáng) （混合/剪切） 可能會(huì)對(duì)理想情況造成不良影響，但這種影響與第二條相比不值一提。

結(jié)語

Deep Bootstrap 框架為理解深度學(xué)習(xí)的泛化和經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)象提供了一個(gè)新角度。我們非常期待能夠在未來看到它被用于理解深度學(xué)習(xí)的其他方面。尤為有趣的是，泛化可以通過純粹的優(yōu)化方面的考量來描述， 這在理論上和許多主流方法相悖。至關(guān)重要的是，我們需同時(shí)考慮在線優(yōu)化和離線優(yōu)化，單獨(dú)考慮二者中的任何一個(gè)都是不夠的，它們共同決定了泛化能力。

主流方法

Deep Bootstrap 框架還揭曉了為什么深度學(xué)習(xí)對(duì)于許多設(shè)計(jì)方案都異常穩(wěn)健，原因是許多中架構(gòu)、損失函數(shù)、優(yōu)化器、標(biāo)準(zhǔn)化和激活函數(shù)都具有良好的泛化能力。這個(gè)框架揭示了一個(gè)普適定律：基本上任何具有良好在線優(yōu)化表現(xiàn)的設(shè)計(jì)方案，其都能在離線狀態(tài)下有良好的泛化表現(xiàn)。

最后，現(xiàn)代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)既可能過參數(shù)化（如使用小型數(shù)據(jù)任務(wù)訓(xùn)練的大型網(wǎng)絡(luò)），也可能欠參數(shù)化（如 OpenAI GPT-3、Google T5 或 Facebook ResNeXt WSL）。而 Deep Bootstrap 框架表明，在線優(yōu)化是在這兩種模式中取得成功的關(guān)鍵因素。

致謝

感謝我們的合著者 Behnam Neyshabur 對(duì)論文的巨大貢獻(xiàn)以及對(duì)于博文的寶貴反饋。感謝 Boaz Barak、Chenyang Yuan 和 Chiyuan Zhang 對(duì)于博文及論文的有益評(píng)論。