有符號(hào)數(shù)的計(jì)算在 Verilog 中是一個(gè)很重要的問題（也很容易會(huì)被忽視），在使用 Verilog 語言編寫 FIR 濾波器時(shí)，需要涉及到有符號(hào)數(shù)的加法和乘法，在之前的程序中我把所有的輸入輸出和中間信號(hào)都定義成有符號(hào)數(shù)，這樣在計(jì)算時(shí)沒有出現(xiàn)問題（實(shí)際在之前的程序中遇到了問題，最后濾波結(jié)果不對(duì)，博客的程序是已經(jīng)改正過的），下面實(shí)際試驗(yàn)一下 Verilog 的乘法問題；

1. 編寫程序測(cè)試無符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)的乘法

編寫程序如下，其中，乘法的兩個(gè)乘數(shù)分別是無符號(hào)、有符號(hào)的四種組合，輸出的積也是分為無符號(hào)和有符號(hào)，共計(jì) 8 種可能；

module signed_test（ input ［7:0］ data_in_unsigned_1， input ［7:0］ data_in_unsigned_2，

input signed ［7:0］ data_in_signed_1， input signed ［7:0］ data_in_signed_2，

output ［15:0］ data_out_000， output ［15:0］ data_out_001， output ［15:0］ data_out_010， output ［15:0］ data_out_011，

output signed ［15:0］ data_out_100， output signed ［15:0］ data_out_101， output signed ［15:0］ data_out_110， output signed ［15:0］ data_out_111 ）;

//無符號(hào) = 無符號(hào) * 無符號(hào)assign data_out_000 = data_in_unsigned_1 * data_in_unsigned_2;//無符號(hào) = 無符號(hào) * 有符號(hào)assign data_out_001 = data_in_unsigned_1 * data_in_signed_2;//無符號(hào) = 有符號(hào) * 無符號(hào)assign data_out_010 = data_in_signed_1 * data_in_unsigned_2;//無符號(hào) = 有符號(hào) * 有符號(hào)assign data_out_011 = data_in_signed_1 * data_in_signed_2;

//有符號(hào) = 無符號(hào) * 無符號(hào)assign data_out_100 = data_in_unsigned_1 * data_in_unsigned_2;//有符號(hào) = 無符號(hào) * 有符號(hào)assign data_out_101 = data_in_unsigned_1 * data_in_signed_2;//有符號(hào) = 有符號(hào) * 無符號(hào)assign data_out_110 = data_in_signed_1 * data_in_unsigned_2;//有符號(hào) = 有符號(hào) * 有符號(hào)assign data_out_111 = data_in_signed_1 * data_in_signed_2;

endmodule

生成的 RTL 圖如下：

可以看到，輸出的積和符號(hào)無關(guān)，有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)實(shí)際上是同一個(gè)數(shù)，只看我們?cè)趺炊x它，比如乘積是 16 位的二進(jìn)制 16’b1100_0000_0000_0011，當(dāng)我們認(rèn)為它是無符號(hào)數(shù)是，最高位的 1 就不是符號(hào)位，而是 2^15（2的15次方），這樣這個(gè)數(shù)代表的十進(jìn)制是 2^15 + 2^14 + 2^1 + 2^0 = 49155；

如果把 16 位的二進(jìn)制 16’b1100_0000_0000_0011 當(dāng)成是一個(gè)有符號(hào)數(shù)來看，那么最高位是符號(hào)位，且剩下的數(shù)據(jù)時(shí)原來的數(shù)據(jù)二進(jìn)制表示后取反再加1（補(bǔ)碼表示），要計(jì)算它對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)

（1） 先去掉符號(hào)位，保留剩下的 15-bit 的 100_0000_0000_0011；

（2） 把 100_0000_0000_0011 取反，得到 011_1111_1111_1100；

（3） 把 011_1111_1111_1100 的最低位 + 1，得到 011_1111_1111_1101；

（4） 011_1111_1111_1101 按照無符號(hào)數(shù)換算成十進(jìn)制是 16381；

（5） 把最高位符號(hào)位加上，0代表正數(shù)，1代表負(fù)數(shù)，所以最后換算是 -16831；

Windows 計(jì)算器默認(rèn)最高位是符號(hào)位；

測(cè)試數(shù)據(jù)如下：

initial begin data_in_unsigned_1 = 8‘hff; //255 data_in_unsigned_2 = 8’hf0; //240 data_in_signed_1 = 8‘hff; //-1 data_in_signed_2 = 8’hf0; //-16 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘hff; //255 data_in_unsigned_2 = 8’h0f; //15 data_in_signed_1 = 8‘hff; //-1 data_in_signed_2 = 8’h0f; //15 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘d127; //127 data_in_unsigned_2 = 8’d15; //15 data_in_signed_1 = -8‘sd127; //-127，十進(jìn)制有符號(hào)數(shù)賦值，必須要用 sd 表示 data_in_signed_2 = -8’sd15; //-15 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘d128; //128 data_in_unsigned_2 = 8’d15; //15 data_in_signed_1 = -8‘sd128; //-128 data_in_signed_2 = -8’sd15; //-15 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘d127; //127 data_in_unsigned_2 = 8’d15; //15 data_in_signed_1 = -8‘sd127; //-127 data_in_signed_2 = 8’sd15; //15 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘d128; //128 data_in_unsigned_2 = 8’d15; //15 data_in_signed_1 = -8‘sd128; //-128 data_in_signed_2 = 8’sd15; //15 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘d127; //127 data_in_unsigned_2 = 8’d15; //15 data_in_signed_1 = 8‘sd127; //127 data_in_signed_2 = -8’sd15; //-15 #200; data_in_unsigned_1 = 8‘d127; //127 data_in_unsigned_2 = 8’d15; //15 data_in_signed_1 = 8‘sd127; //127 data_in_signed_2 = 8’sd15; //15 #200; $stop;end

2. 仿真分析

計(jì)算的結(jié)果仿真如下：

對(duì)上圖分析：

（1） 在 0 ~ 400 ns，仿真中使用十六進(jìn)制賦值相同的十六進(jìn)制數(shù)據(jù)給乘數(shù)，讓乘數(shù)分別以無符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)進(jìn)行讀取，可以看到對(duì) 8’hff（對(duì)應(yīng)二進(jìn)制 8’b1111_1111）以無符號(hào)數(shù)讀取時(shí)是按照 原碼 讀取，對(duì)應(yīng)十進(jìn)制 255，以有符號(hào)數(shù)讀取時(shí)是按照補(bǔ)碼讀取，按照上文所說的去掉符號(hào)位后取反、加1再計(jì)算十進(jìn)制得 -1;

（2） 直接賦值十進(jìn)制數(shù)據(jù)，乘數(shù)在以無符號(hào)數(shù)讀取時(shí)時(shí)按照原碼讀取，127就對(duì)應(yīng) 8 位二進(jìn)制數(shù) 8’b0111_1111，十進(jìn)制 128 就對(duì)應(yīng) 8 位二進(jìn)制 8’b1000_0000；而以有符號(hào)數(shù)讀取的時(shí)候是會(huì)直接轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼形式，如 -127，先去掉符號(hào)位是 127，對(duì)應(yīng) 7 位二進(jìn)制數(shù) 7’b111_1111，取反為 7’b000_0000，加 1 為 7’b000_0001，將符號(hào)位補(bǔ)回到最高位為 8’b1000_0001；對(duì)于 -128 的表示比較特殊，8-bit的二進(jìn)制數(shù)最高位是符號(hào)位，表示正負(fù)，剩下的 7-bit 能夠表示的數(shù)的范圍是 0 ~ 127，前面加上 ± 就能表示 -127 ~ 127，其中有 2 個(gè)數(shù)很特殊就是 8’b0000_0000 和 8’b1000_0000，按照上面會(huì)出現(xiàn) +0 和 -0，為了區(qū)分出這兩個(gè)數(shù)，前人定義 8’b0000_0000 表示 0，而 8’b1000_0000 表示 -128，這樣不僅能區(qū)分開兩個(gè)數(shù)，還多表示了一個(gè)數(shù) -128（整個(gè)計(jì)算機(jī)體系通用，其他位數(shù)時(shí)類似表示一個(gè)負(fù)數(shù)）；

（3） 實(shí)際上，觀察下圖數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，只有data_out_000 和 data_out_111 的數(shù)據(jù)時(shí)全部計(jì)算正確的，這也符合常理：

無符號(hào) * 無符號(hào) = 無符號(hào)；

有符號(hào) * 有符號(hào) = 有符號(hào)；

其它的計(jì)算為什么會(huì)出錯(cuò)呢？實(shí)際上這里遵循一個(gè)原則：

如果表達(dá)式中有一個(gè)無符號(hào)數(shù)，則所有的操作數(shù)都會(huì)被強(qiáng)行轉(zhuǎn)換為無符號(hào)數(shù)；

這樣也就解釋了 0 ~ 400 ns 時(shí)的 data_out_001 和 data_out_010 的計(jì)算結(jié)果和 data_out_000 完全一致，它們都是把賦值的 8 位十六進(jìn)制數(shù)當(dāng)做無符號(hào)數(shù)計(jì)算的（這里不存在十進(jìn)制到二進(jìn)制原碼、補(bǔ)碼換算的問題，因?yàn)榻o的是十六進(jìn)制）；

當(dāng)后面設(shè)計(jì)輸入輸出時(shí)，如果是有符號(hào)，那么將相關(guān)計(jì)算的輸入/輸出和中間量都顯式的用 signed 定義；

3. 有符號(hào)數(shù)乘法的另一種計(jì)算

前面說的計(jì)算時(shí)將涉及到的相關(guān)量全部定義為有符號(hào)數(shù)是一種計(jì)算方法，此外，通常情況下可能會(huì)定義的無符號(hào)數(shù)，但是實(shí)際傳入的是有符號(hào)數(shù)，比如下面的輸入和輸出都沒有指定成 signed 有符號(hào)數(shù)，計(jì)算時(shí)默認(rèn)是按照無符號(hào)數(shù)計(jì)算（實(shí)際上我感覺是把讀取到的 8 位二進(jìn)制數(shù)當(dāng)做原碼去算），此時(shí)若外部傳入的數(shù)據(jù)實(shí)際上是有符號(hào)數(shù)（比如 FIR 濾波器傳入了正負(fù)均有的待濾波信號(hào)），那么需要對(duì)符號(hào)位進(jìn)行擴(kuò)展來計(jì)算乘法和加法；

module signed_test_2（ input ［7:0］ data_in_1， input ［7:0］ data_in_2， output ［15:0］ data_out_1， output ［15:0］ data_out_2）;

對(duì)于乘法，需要擴(kuò)展符號(hào)位 到 和積的位數(shù)相等，比如乘數(shù)a為 N-bit，乘數(shù) b 為M-bit，兩個(gè)相乘得到 N+M 位數(shù)據(jù)，此時(shí)需要對(duì) a 擴(kuò)展 M-bit 到 N+M 位，對(duì) b 擴(kuò)展 N-bit 到 N+M 位；

下面，使用 位拼接符 { } 來做演示，位拼接符可以按照二進(jìn)制的位來進(jìn)行高低位的拼接，假設(shè) data_in_1= 8’b1000_0011，對(duì)于 {{8{data_in_1［7］}}，data_in_1} 可以這樣理解：

（1） 先看 8{data_in_1［7］}，表示取出 8-bit 數(shù)據(jù) data_in_1 的最高位 data_in_1［7］，重復(fù) 8 次，相當(dāng)于 { data_in_1［7］， data_in_1［7］， data_in_1［7］， data_in_1［7］， data_in_1［7］， data_in_1［7］， data_in_1［7］， data_in_1［7］ }，即高位擴(kuò)展 8-bit 的 1

（2） {{8{data_in_1［7］}}，data_in_1} 相當(dāng)于在 data_in_1 的前面補(bǔ)上 8 個(gè) data_in_1［7］，即 結(jié)果為 16-bit 的 16’b1111_1111_1000_0011；

//不做符號(hào)位擴(kuò)展，直接相乘assign data_out_1 = data_in_1 * data_in_2;//做符號(hào)位擴(kuò)展，再相乘assign data_out_2 = {{8{data_in_1［7］}}，data_in_1} * {{8{data_in_2［7］}}，data_in_2};

仿真測(cè)試數(shù)據(jù)如下，1 處用十六進(jìn)制給出數(shù)據(jù)，2 處用有符號(hào)的十進(jìn)制賦值，3 處是為了和 2 處對(duì)比，看最后賦值是否一樣（看到有博客說 3 的賦值是錯(cuò)的，所以測(cè)試一下）；

仿真結(jié)果如下，可以看到上圖 2 處和 3 處的賦值在仿真時(shí)是同樣的數(shù)據(jù)，把所有數(shù)據(jù)都用有符號(hào)的十進(jìn)制數(shù)顯示（右鍵數(shù)據(jù) Radix -》 Signed Decimal）；

可以看到，data_out_1的結(jié)果是錯(cuò)的（沒有補(bǔ)符號(hào)位），data_out_2的結(jié)果是對(duì)的（補(bǔ)符號(hào)位）；

對(duì)有符號(hào)數(shù)的加法，同樣的，要么相關(guān)的運(yùn)算全部定義成有符號(hào)數(shù)，要么進(jìn)行符號(hào)位的擴(kuò)展，對(duì)于加法操作，只需要每個(gè)被加數(shù)擴(kuò)展 1 位符號(hào)位即可；

除此之外，還可以調(diào)用乘法器的 IP 來代替 乘法符號(hào) *，或者加法器的 IP 來代替 加法符號(hào) +，在 IP 核中配置輸入輸出為有符號(hào)數(shù)即可。
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