量子網(wǎng)絡(luò)中，傳遞信息的基本單位——量子比特 （qubit）——可以以一定的方式相互糾纏在一起。這種量子糾纏是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的必需資源。然而，當(dāng)兩個(gè)量子比特被分隔開很長距離時(shí)，量子糾纏會格外脆弱。幸運(yùn)的是，人們可以設(shè)計(jì)一種方案，通過鏈路路由和中繼器，間接地使兩個(gè)長距離的量子比特成功糾纏在一起。

這種間接式方案被稱作為糾纏傳輸 （entanglement transmission），是量子網(wǎng)絡(luò)具有的重要優(yōu)勢之一。但如果網(wǎng)絡(luò)中每條鏈路自身的傳輸能力（“糾纏度”）過低，那長距離的量子傳輸就無法實(shí)現(xiàn)。這種長距離量子傳輸成功與否對于鏈路自身能力的依賴性，實(shí)際上可以映射為一種統(tǒng)計(jì)物理理論，即經(jīng)典滲流理論 （classical percolation theory）。

理論預(yù)測：每條鏈路自身傳輸能力只有高于某個(gè)閾值，才能實(shí)現(xiàn)無窮大量子網(wǎng)絡(luò)中的長距離量子傳輸。然而人們發(fā)現(xiàn)，在某些特殊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（比如蜂窩形）的網(wǎng)絡(luò)中，即使每條鏈路自身能力低于閾值，也能實(shí)現(xiàn)量子傳輸。這說明經(jīng)典滲流理論并不足以解釋量子網(wǎng)絡(luò)真正的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

在此背景下，波士頓大學(xué)Xiangyi Meng （孟祥一）， 倫斯勒理工Jianxi Gao （高建喜）， 與巴伊蘭大學(xué)Shlomo Havlin三名研究者通過對任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)量子網(wǎng)絡(luò)的研究，提出了一種通粹滲流理論 （concurrence percolation theory）。

該理論與經(jīng)典滲流類似，但并非建立在概率測度之上，而是建立于一種叫做通粹糾纏度 （concurrence） 的量子糾纏測度。研究者類比于電阻網(wǎng)絡(luò)的串并聯(lián)規(guī)律，顯式寫出了通粹滲流理論的連通規(guī)則，并預(yù)測了常見拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的量子網(wǎng)絡(luò)的新的滲流閾值。研究發(fā)現(xiàn)，新的閾值顯著低于經(jīng)典滲流理論的預(yù)測。同時(shí)，研究者給出了任意串并聯(lián)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)下實(shí)現(xiàn)新閾值的局域操作與通信方案，支持了理論預(yù)測。

這項(xiàng)工作的創(chuàng)新點(diǎn)在于將大尺度的量子網(wǎng)絡(luò)糾纏傳輸問題映射為了一種新的統(tǒng)計(jì)理論。這種映射極大簡化了刻畫大尺度量子糾纏的方式，使糾纏傳輸問題化簡成為了一個(gè)經(jīng)典復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的鏈路連通問題。該工作以“Concurrence Percolation in Quantum Networks”為題于近日發(fā)表在國際物理學(xué)期刊Physical Review Letters.

如圖1所示，A與B之間糾纏傳輸?shù)某晒εc否實(shí)際上取決于每條鏈路的自身傳輸能力。如果每條鏈路可以寫作一個(gè)二體糾纏純態(tài)：

那么存在測度：

代表了將該二體糾纏純態(tài)轉(zhuǎn)化為最大糾纏純態(tài)（單重態(tài)）的概率。同時(shí)，該概率可以被理解為鏈路“開啟”的概率。若網(wǎng)絡(luò)無窮大，可想而知，只有當(dāng)每條鏈路“開啟”的概率大于某一閾值，才能統(tǒng)計(jì)上保證量子網(wǎng)絡(luò)任意兩點(diǎn)間至少有一條完全“開啟”的通路，從而實(shí)現(xiàn)糾纏傳輸。

如上思路實(shí)際上是一種對經(jīng)典滲流理論的典型映射。然而，該思路的局限性在于，每條鏈路不一定需要預(yù)先被轉(zhuǎn)化為單重態(tài)，亦即不需要成為完全“開啟”的狀態(tài)。

研究發(fā)現(xiàn)，即使鏈路保持在介于“開啟”與“關(guān)閉”之間（即部分糾纏態(tài)），利用可規(guī)?；摹按_定性 （deterministic） 量子通訊協(xié)議”——包括量子糾纏交換協(xié)議 （quantum entanglement swapping） 與量子提純協(xié)議 （quantum distillation），無窮大量子網(wǎng)絡(luò)的任意兩點(diǎn)間仍然可以實(shí)現(xiàn)糾纏傳輸。通過分析確定性量子通訊協(xié)議的具體表達(dá)式，可以得到一種新的映射，建立于concurrence測度（通粹糾纏度）之上：

同時(shí)，還可以得到基于通粹糾纏度的新的滲流連通規(guī)則。

經(jīng)典滲流理論的連通規(guī)則已經(jīng)被分解為串并聯(lián)規(guī)則（類比于電阻網(wǎng)絡(luò)），其表達(dá)式給出了兩點(diǎn)間至少有一條完全“開啟”的通路的概率。與之類似，確定性量子通訊協(xié)議為通粹滲流理論提供了一套新的串并聯(lián)規(guī)則。此外，基于串并聯(lián)規(guī)則，未知的高階連通規(guī)則可以通過一種star-mesh （SM） 變換進(jìn)行近似。

基于兩種理論不同的串并聯(lián)規(guī)則（及SM變換）得到的滲流閾值（紅色豎線，棕色豎線）的對比。通粹滲流理論預(yù)測的滲流閾值要顯著小于經(jīng)典滲流理論，意味著即使每條鏈路的糾纏度小于經(jīng)典滲流閾值，也可以實(shí)現(xiàn)長距離量子傳輸。實(shí)際操作上，由于串并聯(lián)規(guī)則由量子通訊協(xié)議直接確定，這表明任何僅由串并聯(lián)規(guī)則構(gòu)成的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)量子網(wǎng)絡(luò)都可以通過局域操作與通訊的方式實(shí)現(xiàn)通淬滲流理論的結(jié)果；

另一方面，盡管SM變換得到的近似高階連通規(guī)則無法由局域操作與通訊實(shí)現(xiàn)，但可以通過多鏈路路由和多體量子協(xié)議方案來逼近。

研究者認(rèn)為，該發(fā)現(xiàn)實(shí)際上體現(xiàn)了一種“量子優(yōu)越性”（quantum advantage）。這種“優(yōu)越性”并非體現(xiàn)于可數(shù)個(gè)量子比特，而是涌現(xiàn)于統(tǒng)計(jì)大尺度上。研究者相信該理論工作不僅可以加深對量子網(wǎng)絡(luò)功能極限的認(rèn)識，也可以為量子糾纏統(tǒng)計(jì)性質(zhì)帶來新的視角。

本科畢業(yè)于北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院、現(xiàn)讀于波士頓大學(xué)物理系博士生孟祥一為論文的第一作者。倫斯勒理工高建喜教授與巴伊蘭大學(xué)Shlomo Havlin教授為論文的共同通訊作者。

編輯：jq