快速傅里葉變換 (Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT), 即利用計算機(jī)計算離散傅里葉變換（DFT)的高效、快速計算方法的統(tǒng)稱，簡稱FFT。DFT是實現(xiàn)了從頻域（頻域分析往往比時域分析更優(yōu)越）對信號與系統(tǒng)進(jìn)行分析。然而，隨著序列長度的增加，計算量也顯著增加，對于計算機(jī)而言，處理時間就越長，消耗的資源也就越多。

忘了什么是傅里葉變換的同學(xué)，趕緊拿出《信號與系統(tǒng)》翻一下。實在沒書，找度娘。對于連續(xù)時間信號f(t)，定義式如下：

傅里葉變換：

傅里葉逆變換：

信號處理領(lǐng)域大名鼎鼎的傅里葉變換，正式由傅里葉提出的，不得不說，實在太偉大了，頂禮膜拜。

在信號處理中，由于計算機(jī)通常只能處理數(shù)字信號，因此通過對連續(xù)信號進(jìn)行采樣離散化，進(jìn)而有了離散傅里葉變換。

話不多說，直入主題，首先把DFT公式搬出來：

原信號x(t)的采樣信號x[n]也可以用X[K]來表示：

1965年，庫利和圖基提出了快速傅里葉變換(FFT)算法，采用這種算法能使計算機(jī)計算DFT所需要的乘法次數(shù)大為減少，特別是被變換的抽樣點數(shù)N越多，F(xiàn)FT算法計算量的節(jié)省就越顯著。

常用計算方法：

時間抽取算法：令序列的長度為N（2的冪），可以將時域序列x(n)分解為兩部分，一是偶數(shù)部分x(2n)，另一部分是計數(shù)部分x(2n+1)，于是信號序列x(n)的離散傅里葉變換可以用兩個N/2抽樣點的離散傅里葉變換來辨識核計算。

頻率抽取算法：按照頻率吧抽取的FFT算法是將頻域信號序列X(k)分解為奇偶兩部分，但算法仍然是由時域信號序列開始逐級計算，同樣把N點分成N/2點計算FFT。

02

FFT原理

FFT是DFT的快速算法，可以將一個信號從時域變換到頻域。很多時候信號在時域很難進(jìn)行信號特征分析，變換到頻域后，就很容易看出信號的頻率、功率、相位等特征信息。更多詳細(xì)的解釋，可移步看這里深入淺出的講解傅里葉變換（真正的通俗易懂）或者在CSDN中閱讀深入淺出解釋FFT系列（非公眾號文章，超鏈接失敗，抱歉，可去CSDN看原文博客），講得比較清楚透徹，不愧是10年碼齡的巨佬。在這里我就不再贅述了。

03

FFT IP Core使用

概述

以Xilinx Vivado設(shè)計套件中提供的FFT IP為例，簡要說明如何進(jìn)行FFT IP配置和設(shè)計。

FFT Core用于計算N點的DFT或IDFT，N=2m，m=3~16。對于計算FFT，有三種算術(shù)選項用于計算FFT：

全精度無縮放算法

定點縮放，提供縮放表

塊浮點（運行時調(diào)整縮放）

對于N點大小，可對正向/逆向變換、縮放表循環(huán)前綴進(jìn)行配置。

提供四種可選架構(gòu)：

Pipelined Streaming I/O

Radix-4 Burst I/O

Radix-2 Burst I/O

Radix-2 Lite Burst I/O

端口描述

FFT IP Core的端口如圖1所示，對端口的描述，參考產(chǎn)品指南PG-109-XFFT.pdf。

圖1 FFT端口

FFT IP配置

舉個栗子：單通道，512點，Radix-2,Burst I/O，定點數(shù)，縮放，取整模式Truncation，輸入數(shù)據(jù)位寬16bit，相位因子位寬16，自然序輸出，無循環(huán)前綴。

在Vivado中創(chuàng)建工程后，在工程管理器下的IP Catalog中選擇并配置FFT IP，在IP配置向?qū)У闹敢?，依次進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的配置，如圖2所示。配置通道數(shù)，變換長度，實現(xiàn)架構(gòu)，數(shù)據(jù)格式，縮放，取整模式，數(shù)據(jù)呼出順序，是否插入循環(huán)前綴（CP）等。

圖2 FFT IP配置

在向?qū)б晥D左側(cè)，可查看IP端口框圖，實現(xiàn)詳情以及時延信息，如圖3所示。這里需要注意輸入輸出數(shù)據(jù)的格式以及配置通道數(shù)據(jù)的格式。

圖3 查看IP實現(xiàn)信息

配置完成后，輸出生成定制FFT IP，最后再將其實例化到工程模塊中。

AXI-Stream注意事項

該IP的端口采用了標(biāo)準(zhǔn)的AXI-Stream協(xié)議，數(shù)據(jù)傳輸基本握手，如圖4所示。

圖4 AXI-Stream信道數(shù)據(jù)傳輸

AXI信道規(guī)則

所有的TDATA和TUSER字段被打包成小端格式，也就是一個子字段的第0位與TDATA或TUSER的第0位對齊。

字段不包括在TDATA或TUSER中，除非以這種方式配置了核它需要字段出現(xiàn)。例如，如果核心配置為有一個固定的點大小，沒有位分配給指定點大小的NFFT字段。

所有的TDATA和TUSER矢量都是8bit的整數(shù)倍。

配置通道

配置通道端口信號如表1所示。

表1 配置通道端口信號

配置通道（s_axis_config）接口是AXI通道，TDATA字段接口定義如下表2所示，所有需要paded的字段如果未達(dá)到8bit邊界，則需要擴(kuò)展到8bit邊界。擴(kuò)展的bit可以未任意值，設(shè)計為常量值可節(jié)省器件資源。

表2TDATA字段接口定義

TDATA數(shù)據(jù)格式如圖5所示。

圖5 config_tdata數(shù)據(jù)據(jù)格式

其中，NFFT設(shè)置情況，如表3所示。需要注意的是，如果選項runtime configurable transform length被選后，變換點大小才可以在配置通道的NFFT字段進(jìn)行設(shè)置。

表3NFFT設(shè)置

正反變換及縮放

FWD_INV=1時，正向變換；FWD_INV=0時，逆向變換。

對于FFT/IFFT各級縮放，在不同的實現(xiàn)架構(gòu)中，縮放因子的設(shè)置有所不同?？蓞⒖急? 或者產(chǎn)品指南：PG109-xfft.pdf文檔ch.4操作理論的Run Time Transform Configuration部分。

循環(huán)前綴（CP）

將輸出結(jié)果的尾部復(fù)制到頭部，輸出順序要選擇自然序。插入循環(huán)前綴，可逐幀設(shè)置，不用打斷幀處理進(jìn)程。

補(bǔ)充：定點數(shù)

在FPGA處理過程中，常常要對浮點數(shù)進(jìn)行定點化處理。Matlab中提供了一個非常方便的定點化函數(shù)fi。

fi(data,s,w,f) 各參數(shù)的定義：

s:signed or unsigned 標(biāo)志；

signed: 包含符號位；

f:定點小數(shù)精度。

例如：在命令行輸入fi(pi,1,16,13),回車，如圖6所示。

圖6 浮點數(shù)定點

查看定點后的數(shù)據(jù)， 命令行輸入ans.hex，顯示十六進(jìn)制數(shù)6488，如圖7所示。

圖7 定點16進(jìn)制數(shù)據(jù)

命令行輸入ans.dec，顯示十進(jìn)制數(shù)，如圖8所示。

圖8 定點10進(jìn)制數(shù)據(jù)

在FPGA處理定點乘法，可用乘法器IP—Multiplier，如圖9所示。

圖9 乘法器IP

04

FFT模塊設(shè)計demo

以調(diào)用FFT，并通過ROM預(yù)存所需數(shù)據(jù)進(jìn)行一個簡單的demo設(shè)計。

利用FFT IP，搭建工程。分別使用兩個ROM存儲DMRS0的I、Q兩路數(shù)據(jù)，外部主機(jī)斷言m_data_tready拉高時，準(zhǔn)備開始從ROM讀取數(shù)據(jù)，同時配置FFT。IFFT計算輸出通過乘以一個系數(shù)，使其幅度值接近于1。設(shè)計框圖如圖10所示。

圖10 設(shè)計框圖

以DMRS0信號5M帶寬300點（中間補(bǔ)零，至512點）作IFFT為例，創(chuàng)建工程，編寫RTL代碼。針對配置通道的數(shù)據(jù)配置（如SCALE_SCH、FWD/INV、CP_LEN、NFFT），假設(shè)基于Radix-2架構(gòu)作IFFT，不加循環(huán)前綴，不更改NFFT點數(shù)，配置情況如下。

s_axis_config_tdata = 23'b0000_0000_0000_0000_0000_0000;

注意，高M(jìn)SB五位做了填充，使得TDATA的位寬是8的整數(shù)倍。

FPGA仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 FPGA工程仿真

MATLAB進(jìn)行IFFT變換，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，同時將FPGA仿真的結(jié)果導(dǎo)入，計算各自的幅度，并繪于同一圖中，如圖12所示。

圖12 幅度值對比

計算各自的相位角弧度，如圖13所示。

圖13 相位弧度對比

通過對比分析可知，MATLAB仿真與FPGA實現(xiàn)結(jié)果基本一致。

在LTE、5G等無線通信中，IFFT和FFT變換是一個繞不過的話題。即便5G在探索非正交多址接入技術(shù)（NOMA）,因主動引入干擾，接收機(jī)設(shè)計復(fù)雜度急劇上升，能否被采用不得而知。