作為一個(gè)材料人，必須要掌握材料的基本力學(xué)性質(zhì)，包括應(yīng)變、應(yīng)力以及相互之間的關(guān)系等。需要了解材料在不同形式的力的作用下的對(duì)應(yīng)的反應(yīng)形式，并儲(chǔ)備常用的材料的力學(xué)性質(zhì)的知識(shí)。選擇合理的數(shù)學(xué)模型，確定最終的物理方程，這都要求我們了解材料的基本力學(xué)性質(zhì)。

材料的力學(xué)性質(zhì)通常是由試驗(yàn)測(cè)定的。因此，力學(xué)性質(zhì)分為單項(xiàng)加載情況下的力學(xué)特征、單項(xiàng)加載卸載的力學(xué)特征、循環(huán)加載時(shí)材料力學(xué)特征。其中，單項(xiàng)加載情況下獲得的基本力學(xué)數(shù)據(jù)是比較基礎(chǔ)的。進(jìn)行相關(guān)的描述前，首先需要了解力學(xué)的基本概念，包括應(yīng)變、應(yīng)力。

所觀察的物體的變化從物理上來(lái)講主要包含位置的變化和形狀的變化。位置變化可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移來(lái)表達(dá)，形狀的變化則是可以通過(guò)應(yīng)變來(lái)表達(dá)。應(yīng)變包括長(zhǎng)度的變化和方向的變化。如下圖所示，長(zhǎng)度的相對(duì)變化為線應(yīng)變，可以表示為：

方向的相對(duì)改變?yōu)榧簦ń牵?yīng)變，如：

針對(duì)三維情形，可以獲得應(yīng)變張量如式：

需要說(shuō)明的是，張量的剪切應(yīng)變分量不等于實(shí)際的剪切應(yīng)變。

圖1 應(yīng)變表達(dá)示意圖

上述定義屬于工程應(yīng)變。工程應(yīng)變?nèi)Q于初始長(zhǎng)度，如l，初始長(zhǎng)度是事先已知的，所以工程應(yīng)變是線性的。工程應(yīng)變的應(yīng)用局限于材料小旋轉(zhuǎn)，中等大小的剛體旋轉(zhuǎn)將導(dǎo)致非零應(yīng)變。實(shí)際上，一切能夠按照一定的規(guī)律表示形狀變化的量均可以作為應(yīng)變的度量（但應(yīng)變的使用通常需要和應(yīng)力產(chǎn)生極大的關(guān)聯(lián)，方能產(chǎn)生實(shí)際價(jià)值，因此，需要針對(duì)所定義的應(yīng)變度量建立相關(guān)聯(lián)的應(yīng)力度量，即共軛的應(yīng)力定義）。所以，除了上述應(yīng)變定義以外，還有其他一些比較重要的應(yīng)變定義。一維問(wèn)題中，對(duì)數(shù)應(yīng)變由下面公式計(jì)算：

對(duì)數(shù)應(yīng)變也可以泰勒展開(kāi)如下式所示，其與工程應(yīng)變存在一定的差別，因此，需要進(jìn)行區(qū)別對(duì)待。在有限元程序編寫時(shí)，特別是靜強(qiáng)度分析時(shí)，通常為小應(yīng)變狀態(tài)，且所劃分的單元較小，因此，兩者的差別并不大。

對(duì)數(shù)應(yīng)變是非線性應(yīng)變，因?yàn)樗俏粗淖罱K長(zhǎng)度的非線性函數(shù)。它同樣可稱為log應(yīng)變。三維等效對(duì)數(shù)應(yīng)變是Hencky應(yīng)變。在大應(yīng)變問(wèn)題中，對(duì)數(shù)應(yīng)變并不能自動(dòng)適應(yīng)任意大的旋轉(zhuǎn)。

一維的Green-Lagrange應(yīng)變由下式計(jì)算：

此應(yīng)變是非線性的，因?yàn)樗Q于未知的更新長(zhǎng)度的平方。此種應(yīng)變優(yōu)于對(duì)數(shù)應(yīng)變或Hencky應(yīng)變之處在于，它可自動(dòng)適應(yīng)大應(yīng)變問(wèn)題中的任意大旋轉(zhuǎn)。這在非線性分析中將會(huì)用到。常見(jiàn)的力學(xué)試驗(yàn)拉伸數(shù)據(jù)如下圖所示。

僅從幾何學(xué)的角度定義如上，直觀易于理解，但實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，這種純粹幾何的定義適應(yīng)性較差，通常需要從解析幾何的角度來(lái)進(jìn)一步地考慮。因此，需要首先建立坐標(biāo)系。

圖2 位移示意圖

OA和OB兩線元的長(zhǎng)度分別為OA=dx，OB=dy。設(shè)O點(diǎn)的位移是u(x, y) 和v(x, y)，A 點(diǎn)的位移是u(x+dx, y)、v(x+dx，y)，

B點(diǎn)的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。

則可以定義工程應(yīng)變?nèi)缦率剿尽?/p>

可以看出，上述的位移的描述都是基于最初狀態(tài)下的位形確定的，我們可以稱為0時(shí)刻狀態(tài)下的位形。顯然位形發(fā)生變化可以通過(guò)上述的量進(jìn)行表達(dá)。

那么，對(duì)數(shù)應(yīng)變、Green-Lagrange應(yīng)變應(yīng)當(dāng)如何表達(dá)呢？

如果我們觀察物體上一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，它的初始位置是{X}，最終位置是{x}，它運(yùn)動(dòng)的量為{u}。

變形梯度也是物體變形多少的一個(gè)度量，它的定義是：

變形梯度F，可以過(guò)濾掉平動(dòng)（在通過(guò)后續(xù)對(duì)數(shù)計(jì)算等可以將平動(dòng)給過(guò)濾掉，實(shí)際上F在平動(dòng)時(shí)應(yīng)該為單位矩陣），剩余旋轉(zhuǎn)、由于應(yīng)變?cè)斐傻男螤罡淖?。通過(guò)矩陣的極分解，可以獲得去除了旋轉(zhuǎn)變換后的形狀變形。

對(duì)數(shù) (Hencky) 應(yīng)變可由下式計(jì)算：

這里對(duì)數(shù)應(yīng)變是以矩陣形式表示的應(yīng)變張量。在三維問(wèn)題中，Green-Lagrange 應(yīng)變可直接由拉伸矩陣計(jì)算出，如下式所示：

這種應(yīng)變?cè)谟?jì)算時(shí)直接忽略了旋轉(zhuǎn)矩陣，則可以從變形梯度的形式寫出，如下式所示，前兩項(xiàng)是線性小應(yīng)變項(xiàng)，最后一項(xiàng)是應(yīng)變的非線性項(xiàng)。

當(dāng)然以上的形式可以通過(guò)變形前的坐標(biāo)進(jìn)行表示，也可以通過(guò)變形后的坐標(biāo)進(jìn)行表示。更新拉格朗日應(yīng)變即為ALMANSI應(yīng)變。此外，常用的概念還有體積應(yīng)變。

審核編輯 ：李倩