導(dǎo)數(shù)是一種數(shù)學(xué)工具，用于從任何給定函數(shù)獲取變化率。當(dāng)要微分的函數(shù)表示為方程時，我們將應(yīng)用適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式以類似的方程格式獲得變化率。當(dāng)函數(shù)為波形時，可以使用稱為微分放大器的電子設(shè)備來計(jì)算輸入信號的導(dǎo)數(shù)。結(jié)果是第二個波形，可以記錄、數(shù)字化或以其他方式用于提供有關(guān)原始波形的其他信息。

在基于計(jì)算機(jī)的儀器環(huán)境中，通過將波形通過軟件中構(gòu)建的導(dǎo)數(shù)函數(shù)傳遞波形，可以區(qū)分先前記錄到磁盤的波形。后一種方法有幾個優(yōu)點(diǎn)。與硬件差異化器不同，軟件差異化器是無漂移的，從而提高了精度和可重復(fù)性。對生成的差分波形進(jìn)行自動校準(zhǔn)，以輸入波形除以秒為單位。最后，當(dāng)硬件解決方案生成一個要么接受，要么離開的導(dǎo)數(shù)信號時，軟件差異化器允許通過在同一或不同通道上執(zhí)行多個導(dǎo)數(shù)操作來增強(qiáng)靈活性。每個操作都可以有自己的一組參數(shù)，為波形分析提供有價值的“假設(shè)”方法。

本應(yīng)用筆記旨在使用DATAQ Instruments的高級CODAS分析包的衍生實(shí)用程序作為其模型，探索基于軟件的波形微分的復(fù)雜性。本文中討論的波形微分的所有元素都包含在該產(chǎn)品中。

差異化和集成基礎(chǔ)知識

分化和整合之間的關(guān)系是如此密切，以至于討論一個自然會導(dǎo)致對另一個的討論。這些強(qiáng)大工具的一個更基本的應(yīng)用是單位轉(zhuǎn)換。例如，假設(shè)我們正在從汽車獲取以英尺/秒 （ft/sec） 校準(zhǔn)的速度波形。利用這個信號，我們可以確定汽車在整個測試過程中任何瞬時點(diǎn)的速度?？梢钥隙ǖ氖?，有用的信息。但假設(shè)我們對車輛的加速度感到好奇。換句話說，我們想要速度波形相對于時間的變化率。此類信息由導(dǎo)數(shù)函數(shù)通過將以英尺/秒為單位校準(zhǔn)的波形轉(zhuǎn)換為以英尺/秒/秒或英尺/秒 2 校準(zhǔn)的波形來提供。同樣，我們可以選擇對速度波形進(jìn)行積分，以得出位移的度量。在此操作之后，單位從英尺/秒轉(zhuǎn)換為（英尺/秒）×秒，或簡稱為“英尺”。

圖 1— 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)函數(shù)而沒有平滑的好處會產(chǎn)生噪聲結(jié)果，幾乎沒有提供有關(guān)輸入波形真實(shí)變化率的信息。

生成微分波形

再次回到我們的示例速度波形和我們對推導(dǎo)加速度的需求，我們可以確定任何給定范圍內(nèi)速度的變化，并除以經(jīng)過的時間以獲得粗略的近似值。但這是一種繁瑣的波形微分方法，很容易導(dǎo)致錯誤，并且無法提供加速度的整體圖形圖像，以幫助我們識別其他感興趣的區(qū)域。這些問題可以通過軟件差異化來解決。此類產(chǎn)品可用于導(dǎo)出波形的一階導(dǎo)數(shù)的最基本方法是計(jì)算速度波形上任何給定點(diǎn)與下一個相鄰樣本之間的差異。然后將此差值除以將兩點(diǎn)分開的經(jīng)過時間增量，以產(chǎn)生以ft/sec 2或加速度為單位的變化率。這種方法的問題在于結(jié)果非常嘈雜，如圖1所示，圖1模擬了這種差異化方法?，F(xiàn)實(shí)世界的信號總是有一個噪聲分量，隨著微分過程的放大。雖然圖1中的速度波形看起來相當(dāng)無噪聲，但得出的加速度波形實(shí)際上毫無用處。正如模擬微分器提供可選的低通濾波器一樣，軟件微分器也必須提供對生成的波形進(jìn)行平滑處理的方法。存在許多平滑方法，但最好的方法是將平滑與派生函數(shù)相結(jié)合，從而提高軟件執(zhí)行效率。最小二乘算法滿足此要求。

應(yīng)用于線性回歸的最小二乘法是一種眾所周知的技術(shù)，用于推導(dǎo)形式的預(yù)測方程。

y = mx + b

來自隨機(jī)抽樣的組。從基本微積分中，我們知道這個方程的一階導(dǎo)數(shù)（dy/dx）產(chǎn)生m，即直線的斜率或變化率。出于微分目的，截距量 （b） 沒有意義，因此無法計(jì)算。有了這些基本信息并將最小二乘線性回歸模型應(yīng)用于定義采集波形的連續(xù)點(diǎn)，我們可以為定義這些點(diǎn)的最佳擬合線構(gòu)建一個方程，其中線的m或斜率表示線在用于計(jì)算的波形值上的平均變化率。進(jìn)一步擴(kuò)展此推理，如果我們改變計(jì)算回歸線的點(diǎn)數(shù) （n），我們可以調(diào)整應(yīng)用于計(jì)算變化率的平滑程度。n值越高，平滑越大，值越低平滑越少。

圖 2— 通過計(jì)算由采樣值組成的重疊線段的斜率生成導(dǎo)數(shù)波形。

圖 3— 對微分波形進(jìn)行平滑處理可以顯著提高其可讀性。這里，平滑因子 15 應(yīng)用于圖 1 所示的相同導(dǎo)數(shù)函數(shù)。

圖 2以圖形方式演示了如何將回歸模型應(yīng)用于由y 表示的波形數(shù)據(jù)點(diǎn)。該示例使用平滑因子 3，這意味著每個線段的斜率 （m） 是通過 3 個連續(xù)波形值計(jì)算的。請注意線段計(jì)算中存在的重疊，它在差分波形中產(chǎn)生的點(diǎn)數(shù)與函數(shù)y 表示的波形中存在的點(diǎn)數(shù)相同。圖3是將回歸方法應(yīng)用于圖1相同速度波形的結(jié)果。計(jì)算每條回歸線的點(diǎn)數(shù)為 15，從而產(chǎn)生生成的加速度波形中顯示的顯著平滑程度。

圖 4是WinDaq 播放實(shí)用程序中打印屏幕的復(fù)制品。頂部波形是從在測試軌道上運(yùn)行的汽車獲得的速度。底部波形是一個計(jì)算的通道，加速度，它是通過速度的一階導(dǎo)數(shù)得出的，平滑因子為 15。

其他波形差分問題

在選擇分析包來執(zhí)行波形微分時，應(yīng)考慮許多問題。首先，確保生成的波形自動縮放為有意義的工程單位。生成的波形應(yīng)縮放到的單位是原始波形單位除以時間（通常以秒為單位）。這種能力極大地簡化了差異化操作。

其次，波形微分器不應(yīng)要求數(shù)學(xué)協(xié)處理器來加快計(jì)算速度。這樣的要求是惰性編程的副產(chǎn)品，只會給你的系統(tǒng)帶來另一個成本負(fù)擔(dān)。

圖 4—WinDaq回放屏幕的再現(xiàn)在頂部窗口中顯示圖 1 和圖 3 的速度波形，在底部窗口中顯示由高級 CODAS 計(jì)算的加速度波形。對導(dǎo)數(shù)函數(shù)應(yīng)用平滑因子 15。

微分器應(yīng)使用快速的整數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算，而協(xié)處理器則沒有優(yōu)勢。唯一需要的浮點(diǎn)運(yùn)算是計(jì)算縮放常數(shù)的單步，該常數(shù)將用于在需要時將微分波形縮放為有意義的單位。

最后，檢查分析包的數(shù)據(jù)空間內(nèi)存要求。一些分析軟件實(shí)用程序要求要操作的波形完全駐留在半導(dǎo)體存儲器中。如果要分析的波形長度僅為10Kb，則沒有問題，但是在嘗試處理2Mb或更大的通道時可能是一個真正的問題。為了使自己免受此類問題的影響，請尋找基于磁盤的分析包。此類系統(tǒng)將要分析的波形從磁盤上流出，通過微分器，并作為計(jì)算通道返回磁盤。使用這種方法可以分析的波形信息大小的唯一限制是硬盤驅(qū)動器的大小。

審核編輯：郭婷