不知道大家有沒(méi)有這樣的疑問(wèn)：我明明是在學(xué)“數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)”，怎么突然冒出一個(gè)“模擬濾波器設(shè)計(jì)”來(lái)？我是不是學(xué)了個(gè)假的數(shù)字信號(hào)處理？

我們首先來(lái)解釋一下。

第一，大多數(shù)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中不可避免地要用到模擬濾波器，比如：AD轉(zhuǎn)換器前的抗混疊濾波器、DA轉(zhuǎn)換器之后的平滑濾波器，都是模擬濾波器。因此，模擬濾波器設(shè)計(jì)也是數(shù)字信號(hào)處理中應(yīng)當(dāng)掌握的技術(shù)。

第二，我們說(shuō)了，IIR濾波器設(shè)計(jì)的一種重要方法稱(chēng)為“ 模擬原型法 ”，就是 首先設(shè)計(jì)模擬濾波器，然后轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 。這種方法有歷史原因的，在歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中，模擬濾波器先出現(xiàn)，幾十年之后才出現(xiàn)數(shù)字濾波器。在數(shù)字濾波器出現(xiàn)之前，模擬濾波器已經(jīng)形成了一套完善的設(shè)計(jì)方法。所以人們自然而然地想法就是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。

這兩點(diǎn)，是我們把“模擬濾波器設(shè)計(jì)”的內(nèi)容放在本章中學(xué)習(xí)的原因。

在正式內(nèi)容開(kāi)始之前，為了更好地理解，我們首先做幾點(diǎn)鋪墊：

第一點(diǎn)，本節(jié)中，因?yàn)橛懻搶?duì)象是模擬系統(tǒng)，所以所涉及到的角頻率變量都是大寫(xiě)的Omiga（文字中只能用W表示），即“模擬角頻率”。系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)用Ha(s)/Ha(jW)表示（“a”為analog的第一個(gè)字母）；

第二點(diǎn)，在本章中，我們一般只關(guān)注其幅頻特性|Ha(jW)|，因?yàn)槟M濾波器的相頻特性一般都是非線性的。

第三點(diǎn)，IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，是用一些形狀合適的數(shù)學(xué)函數(shù)，通過(guò)調(diào)節(jié)函數(shù)中的某些參數(shù)，來(lái)直接逼近濾波器的幅度函數(shù)，使其滿足性能指標(biāo)的要求。其目標(biāo)依然是 確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分子分母多項(xiàng)式的階數(shù)以及系數(shù) 。

第四點(diǎn)，上面所說(shuō)的“形狀合適的數(shù)學(xué)函數(shù)”，一般是作為濾波器的 幅度平方函數(shù) ——也就是幅度函數(shù)的平方，即|Ha(jW)|^2。有的同學(xué)可能會(huì)有疑問(wèn)“為什么不直接作為幅度函數(shù)，而是幅度平方函數(shù)”，這個(gè)疑問(wèn)放一放，等到下面第二個(gè)問(wèn)題就明了了。

一 幅度平方函數(shù)

幅度平方函數(shù)，顧名思義，就是幅度函數(shù)的平方，也就是：|H(jW)|^2。

在這里我們要解決一個(gè)問(wèn)題：已知|Ha(jW)|^2的函數(shù)表達(dá)式，如何求Ha(s)？

有的同學(xué)說(shuō)了，這個(gè)簡(jiǎn)單，把|Ha(jW)|^2開(kāi)平方，得到Ha(jW)，然后令jW=s，就得到Ha(s)了？

你有這樣的想法，說(shuō)明你 too young too simple。首先，|Ha(jW)|^2開(kāi)平方，只能得到 |Ha(jW)| 而非 Ha(jW)，因?yàn)閨Ha(jW)|^2不包含相位信息，也就是說(shuō)，如果沒(méi)有其他限定條件，|Ha(jW)|^2不能得到唯一的Ha(s)。

那是不是說(shuō)，我們開(kāi)平方后得到|Ha(jW)|，然后給它配上一個(gè)我們需要的相頻函數(shù)，構(gòu)造出 Ha(jW)=|Ha(jW)|e^j[fai(W)]，再令 jw=s 得到 Ha(s) 就可以了呢？

這個(gè)想法，理論上說(shuō)好像可以。但是實(shí)際中我們不是這樣處理的。因?yàn)槲覀冄芯康亩际菍?shí)系統(tǒng)，即ha(t)為實(shí)函數(shù)、Ha(s)為有理函數(shù)（通過(guò)多項(xiàng)式的加減乘除得到的函數(shù)，其系數(shù)是實(shí)數(shù)），顯然，用上面所說(shuō)的方法是無(wú)法得到有理函數(shù)形式的 Ha(s) 的。

那應(yīng)該怎么辦呢？我們首先從公式上推導(dǎo)一下 |Ha(jW)|^2 與 Ha(s) 的關(guān)系，如下式：

上述結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程如下：

這個(gè)關(guān)系說(shuō)明什么呢？

如果s0是Ha(s)的極點(diǎn)，那么 -s0 一定是Ha(-s) 的極點(diǎn)，而且，s0 和 -s0 二者都是 Ha(s)Ha(-s) 的極點(diǎn)。零點(diǎn)亦是如此。

也就是說(shuō)，實(shí)系統(tǒng)的 幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)必然共軛成對(duì)、并且以虛軸鏡像成對(duì)出現(xiàn)。零點(diǎn)也是這樣。 更通俗地說(shuō)，就是：如果在實(shí)軸上，就是兩個(gè)一對(duì)，下圖中的（P5，P6）；如果在虛軸上，貌似兩個(gè)一對(duì)，實(shí)則四個(gè)一對(duì)，因?yàn)槭嵌A極（零）點(diǎn)，如下圖中的（A5，A6）；如果既不在實(shí)軸也不在虛軸上，就是四個(gè)一對(duì)，如下圖中的（A1,A2,A3,A4）和（P1,P2,P3,P4）。

到這里，下面的問(wèn)題就好辦了。我們選一半極點(diǎn)、一半零點(diǎn)給Ha(s)，剩下的一半給 Ha(-s)，就可以了。極點(diǎn)零點(diǎn)一旦確定，Ha(s) 有理分式的形式就可以寫(xiě)出來(lái)了。

顯然，選哪些分給Ha(s)、哪些分給Ha(-s)，有多種選擇方法。但是也要滿足一定的約束條件。

首先，要保證是實(shí)系統(tǒng)，極點(diǎn)和零點(diǎn)都必須共軛成對(duì)；第二，為了保證系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)，極點(diǎn)只能選擇左半平面的分給Ha(s)、右半平面的分給Ha(-s)，零點(diǎn)不影響穩(wěn)定性，故不受此約束；第三，可以根據(jù)相位特性的要求，選擇一半共軛成對(duì)的零點(diǎn)分給Ha(s)、另外一半分給Ha(-s)，例如，如果要求是最小相位系統(tǒng)，零點(diǎn)也必須位于左半平面。

解決了“由幅度平方函數(shù)得到系統(tǒng)函數(shù)”的問(wèn)題之后，下面，我們就來(lái)看哪些數(shù)學(xué)函數(shù)適合做濾波器的幅度平方函數(shù)。我們以低通濾波器為例。

兩位大咖即將隆重登場(chǎng)，分別是巴特沃斯和切比雪夫。

二 巴特沃斯濾波器

1. 巴特沃斯函數(shù)

巴特沃斯是誰(shuí)？英國(guó)一名普普通通的工程師，全名斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth），憑借1930年發(fā)表在英國(guó)《無(wú)線電工程》期刊的一篇論文而名垂青史。

巴特沃斯函數(shù)的表達(dá)式為：

在這個(gè)表達(dá)式中，W為變量，N和Wc為常數(shù)。這個(gè)函數(shù)很簡(jiǎn)單，但是設(shè)計(jì)的很巧妙。

我們先來(lái)認(rèn)識(shí)它一下，看一看它的模樣。

上圖是以W/Wc為橫軸、|Ha(jW)| 為縱軸畫(huà)的圖（用matlab畫(huà)的），分別畫(huà)出了N=2、N=4和N=8時(shí)的圖形。

然后，我們來(lái)分析一下它的特點(diǎn)：

特點(diǎn)一：W越大，函數(shù)值越小。而且，它的前 2N-1階導(dǎo)數(shù)在W=0處都為零，表明在 W=0 附近一段范圍內(nèi)都是非常平直的。故“最平響應(yīng)特性濾波器”的稱(chēng)號(hào)它當(dāng)之無(wú)愧；

特點(diǎn)二：N越大，通帶增益越平坦，頻帶邊緣下降越陡峭，即越接近理想性能。從上圖中也可以看出來(lái)，黑、藍(lán)、紅這三條線，顯然是黑色（N=8）時(shí)代表的濾波器性能最好；

特點(diǎn)三：三條線都交于一點(diǎn)（W=Wc）。這是顯然的，當(dāng)W=Wc時(shí)，|Ha(jW)|^2=1/2，與N無(wú)關(guān)，轉(zhuǎn)換為dB就是10log(1/2)≈-3dB，所以稱(chēng) Wc 為 **3dB帶寬** 。這一特點(diǎn)，稱(chēng)為“3dB帶寬不變性”（即與N無(wú)關(guān)）；

特點(diǎn)四：此函數(shù)，沒(méi)有零點(diǎn)，故稱(chēng)為全極點(diǎn)型濾波器。

2. 巴特沃斯函數(shù)的極點(diǎn)

下面，我們來(lái)求一下巴特沃斯函數(shù)的極點(diǎn)。

令公式中的 jW=s，得到：

求極點(diǎn)，也就是令分母多項(xiàng)式為零，得到：

解上面的2N階方程，得到2N個(gè)根（極點(diǎn)）：

用公式表示，看上去似乎很復(fù)雜，我們以N=3為例，這6個(gè)極點(diǎn)分別為：

畫(huà)在圖上（零極點(diǎn)圖）就一目了然了：

也就是說(shuō)，Ha(s)Ha(-s)的 2N 個(gè)極點(diǎn)等間隔地分布在半徑為 Wc的圓上。

說(shuō)到這里，我們開(kāi)篇時(shí)的那個(gè)疑問(wèn) “ 為什么不直接作為幅度函數(shù)，而是幅度平方函數(shù) ” ，也找到答案了。不能把它直接作為幅度函數(shù)，否則無(wú)法得到因果穩(wěn)定系統(tǒng)。而作為幅度平方函數(shù)，我們只要取左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，就可以由幅度平方函數(shù)得到系統(tǒng)函數(shù)了。并且，根據(jù)極點(diǎn)，構(gòu)造出的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，自然就是有理分式的形式。

看到這里，有的小伙伴會(huì)擔(dān)心地想 “ 如果極點(diǎn)在虛軸上，那可咋辦呢？”。其實(shí)，我們觀察一下極點(diǎn)sk的表達(dá)式就是發(fā)現(xiàn)，這個(gè)擔(dān)心是多余的，巴特沃斯函數(shù)的極點(diǎn)永遠(yuǎn)不會(huì)落在虛軸上。

總結(jié)一下，N階巴特沃斯函數(shù)構(gòu)成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是：

常數(shù)A怎么確定呢？

簡(jiǎn)單，我們只要取一個(gè)特殊點(diǎn)（最簡(jiǎn)單的當(dāng)然是W=0，或者說(shuō)s=0），分別代入到（1）式和（3）式中，就可以得到：

即：N階巴特沃斯函數(shù)構(gòu)成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是：

3. 巴特沃斯濾波器的階數(shù)

所謂的濾波器設(shè)計(jì)，就是得到系統(tǒng)函數(shù)，也就是上面的（4）式。可見(jiàn)，只要求出N和Wc，就萬(wàn)事大吉了。

N和Wc怎么確定呢？當(dāng)然是根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)來(lái)確定。

下面首先來(lái)看，階數(shù)N怎么求。

我們知道，N越大，通帶性能越平坦（即通帶衰減越小），而阻帶衰減越大，并且過(guò)渡帶越窄，即濾波器性能越好。這只是一個(gè)定性的分析，要定量的分析，還要從公式出發(fā)。

首先，我們來(lái)看一看濾波器的性能指標(biāo)，看下圖：Wp、Ws分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，Ap、As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（均以dB為單位）。而巴特沃斯函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以，只要當(dāng)W=Wp時(shí)，衰減不大于（即≤）Ap、W=Ws時(shí)，衰減不小于（即≥）As，那么在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)，肯定是滿足技術(shù)指標(biāo)要求的。

注意 分清這三個(gè)W ，Wc是3dB截止頻率，即W=Wc時(shí)，幅度特性正好是-3dB，而一般來(lái)說(shuō)，通帶最大衰減Ap要小于3dB，而阻帶最小衰減As一般為幾十dB以上，所以，一般來(lái)說(shuō)，Wc要大于Wp而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Ws。

這樣，我們只要把 W=Wp 和 W=Ws 代入到巴特沃斯函數(shù)中，然后取10倍的log（轉(zhuǎn)換為dB），得到兩個(gè)不等式：

根據(jù)（5）和（6）可得：

這樣，將表示技術(shù)指標(biāo)的這四個(gè)值帶入上式中，就可以得到滿足該指標(biāo)的濾波器階數(shù)N的條件，取滿足該條件的最小的整數(shù)（例如得到4.21，我們就得取N=5），就是我們需要的濾波器階數(shù)。

4. 巴特沃斯濾波器的3dB截止頻率

N確定了，巴特沃斯函數(shù)中還有一個(gè)參數(shù)：Wc 怎么得到呢？

將剛剛求出的N帶入到上圖的（5）式或者（6）式中（把≤和≥變?yōu)?），都可以得到 Wc。顯然，這兩個(gè)Wc是不同的。

如果用（5）式取 = 號(hào)得到的Wc，即

那么，通帶最大衰減剛剛好滿足指標(biāo)要求，而阻帶最小衰減會(huì)略大于指標(biāo)要求。這是因?yàn)?，我們按照?）式得到的往往不是整數(shù)，我們實(shí)際上取的N是大于臨界條件的最小整數(shù)。

阻帶衰減越大，說(shuō)明濾除得更徹底，也就是說(shuō)，如果根據(jù)（5）求出的Wc，我們的巴特沃斯濾波器的通帶性能剛剛好滿足指標(biāo)要求，而阻帶性能會(huì)略高于要求（也可以稱(chēng)之為有富裕）。

反之，如果用（6）式取 = 號(hào)得到的Wc，即

那么，阻帶最小衰減剛剛好滿足指標(biāo)要求，而通帶最大衰減會(huì)略小指標(biāo)要求。此時(shí)，通帶性能有富裕。

如果設(shè)計(jì)任務(wù)本身就是設(shè)計(jì)模擬濾波器，那么就可以根據(jù)實(shí)際需要，來(lái)決定用（5）式或者（6）式來(lái)確定Wc。如果沒(méi)有特殊要求，用哪個(gè)都行，都能得到滿足性能要求的濾波器。

正如我們前面所說(shuō)，在實(shí)際使用中，“模擬濾波器”設(shè)計(jì)一般是數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的中間一步，可以根據(jù)模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器時(shí)采用的方法對(duì)濾波器幅頻特性的不同影響，來(lái)選擇那個(gè)式子求Wc。這一點(diǎn)，在下一篇中還會(huì)涉及到。

5. 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)

總結(jié)一下，根據(jù)前面所述，巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)可以按照下面的步驟：

第一步，根據(jù)濾波器性能指標(biāo)，確定N和Wc；

第二步，根據(jù)N和Wc，求出幅度平方函數(shù)的2N個(gè)極點(diǎn)；

第三步，取左半平面的N個(gè)極點(diǎn)，構(gòu)造出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。

上述步驟，從原理上講，是沒(méi)問(wèn)題的。但實(shí)際上，還有更簡(jiǎn)便的方法。我們的前輩工程師們是很聰明的，他們想到了，將Wc設(shè)為1（稱(chēng)為 歸一化 ），針對(duì)N=2、3、4......，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的濾波器（稱(chēng)為歸一化原型濾波器）的系統(tǒng)函數(shù)HaN(s)的系數(shù)，存成表格。

這樣，在具體應(yīng)用場(chǎng)景中，只要計(jì)算出階數(shù)N，去查表，然后做一個(gè)神奇的操作—— 去歸一化 ，就可以得到所需要的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)了。

這個(gè)神奇的操作——去歸一化，到底是怎么回事呢？看下圖：

下面解釋一下上圖的這個(gè)去歸一化是怎么回事。

我們把（4）式的分子分母同除以Wc，然后，令s/Wc等于 p （稱(chēng)為歸一化復(fù)變量），得到一個(gè)新的函數(shù)，我們記為HaN(p)，我們稱(chēng)之為歸一化原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它的極點(diǎn)pk，稱(chēng)為歸一化極點(diǎn)。

相反的過(guò)程，也就是根據(jù)HaN(p)，令 p=s/Wc，重新得到關(guān)于s的函數(shù)Ha(s)，稱(chēng) 為去歸一化 。

把（8）式的分母展開(kāi)，就得到：

注意，常數(shù)項(xiàng)b0一定等于1，而且最高次項(xiàng)p^N的系數(shù)也一定是1。

上式中的系數(shù)bi，前輩工程師們?cè)谏蟼€(gè)世紀(jì)三十年代沒(méi)有計(jì)算機(jī)的幫助下用鉛筆和稿紙手工千辛萬(wàn)苦計(jì)算而形成了表格。只要計(jì)算出了階數(shù)N，直接查表就可以了。

利用歸一化的思想，修正一下前面總結(jié)的設(shè)計(jì)步驟，如下：

第一步 ，根據(jù)濾波器性能指標(biāo)，確定N；

第二步 ，根據(jù)N，查表得到歸一化濾波器的系數(shù)；

第三步 ，求出Wc，去歸一化，得到Ha(s)的系數(shù)。

講了這么多，還是要拿道題目來(lái)練練手吧。

【解】：

第一步，求N。

根據(jù)濾波器指標(biāo)

帶入（3）式得到：N≥3.28

所以，取N=4

第二步，查表，得到歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù) HaN(p) 的系數(shù)b1、b2、b3如下所示；

所以，歸一化原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

第三步，求Wc。

如果用（5‘）式求Wc，得到：

如果用（6‘）式求Wc，得到：

第四步，去歸一化

得到巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

6. 巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)

巴特沃斯函數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，決定了巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)，也就是幅頻特性曲線是W的單調(diào)遞減函數(shù)，這樣的特點(diǎn)，是好？還是不好呢？

比如前面那道例題，我們?cè)O(shè)計(jì)得到的4階巴特沃斯濾波器，在2kHz處衰減為1dB，那么在頻率小于2kHz處，衰減會(huì)小于1dB。同樣的，在頻率大于10kHz處，衰減會(huì)大于40dB，當(dāng)然這沒(méi)有問(wèn)題，因?yàn)楫吘雇◣?nèi)衰減越小越好，而阻帶內(nèi)衰減越大越好。

但是，從實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看，這一特點(diǎn)并不 “劃算”，或者說(shuō)，不經(jīng)濟(jì)，比較費(fèi)錢(qián)。因?yàn)殡A數(shù)越高，對(duì)系統(tǒng)硬件性能要求越高，成本越高。我們寧愿，通帶和阻帶內(nèi)的特性均勻分布。也就是說(shuō)，更經(jīng)濟(jì)的方法是，不是采用單調(diào)遞減特性的巴特沃斯函數(shù)，而是采用其他具有某種起伏特性的函數(shù)，只要能夠控制其起伏的范圍就可以。

這就是下面要說(shuō)的切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器。

三 切比雪夫?yàn)V波器

相比于名不見(jiàn)經(jīng)傳的巴特沃斯，切比雪夫可以說(shuō)是大名鼎鼎，他是一位著名的俄國(guó)數(shù)學(xué)家。我們用到的，就是以他的名字命名的一種多項(xiàng)式——切比雪夫多項(xiàng)式：

這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：當(dāng) |x|≤1時(shí)，CN(x)是余弦函數(shù)，具有等波紋幅度特性；當(dāng)|x|>1時(shí)，是雙曲余弦函數(shù)，隨x單調(diào)增加。

下圖中這些五顏六色的線條，分別是N=0（藍(lán)）、N=1（綠）、N=2（紅）、N=3（黑）、N=4（黑）、N=5（紫）時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式CN(x) 曲線?？梢?jiàn)，在 |x| < 1 范圍內(nèi)，都具有等波紋，N的數(shù)目決定了波動(dòng)的次數(shù)；在 |x| > 1范圍內(nèi)，具有單調(diào)遞增或遞減的特點(diǎn)，并且N越大，遞增或遞減的速度越快。

這樣，我們就可以利用它的等波紋特點(diǎn)，構(gòu)造濾波器的通帶或阻帶，而利用它的單調(diào)特性，構(gòu)造過(guò)渡帶。從而有兩種類(lèi)型的切比雪夫?yàn)V波器：

上面公式中，的取值范圍為 0~1，表示波紋大小，其值越大，波紋越大；Wc為截止頻率；CN為切比雪夫多項(xiàng)式，N為階數(shù)。

這兩種濾波器的幅度特性分別如下圖所示：

切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法，與巴特沃斯濾波器類(lèi)似，也是根據(jù)濾波器技術(shù)指標(biāo)，計(jì)算出N和Wc，查表得到歸一化原型濾波器的系數(shù)，再去歸一化，得到所需濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)。只是其計(jì)算過(guò)程更為繁瑣。這里不再贅述。

四 橢圓濾波器

上面所說(shuō)的兩種類(lèi)型的切比雪夫?yàn)V波器，分別實(shí)現(xiàn)了通帶或者阻帶內(nèi)等波紋，而采用雅可比橢圓函數(shù)構(gòu)造幅度平方函數(shù)的橢圓濾波器，在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋的特性。

下圖為橢圓濾波器的幅度函數(shù)曲線。因?yàn)?931年考爾（Cauer）首先對(duì)這種濾波器進(jìn)行了理論證明，故又稱(chēng)為考爾濾波器。

因其表達(dá)式較為復(fù)雜，此處不再贅述。

五 幾種模擬濾波器的比較

上面介紹了幾種常用的模擬濾波器，下面表格對(duì)這幾種濾波器的幅度特性做了比較。

在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃斯濾波器階數(shù)最高，而橢圓濾波器階數(shù)最低。

matlab中的信號(hào)處理工具箱中，提供了豐富的濾波器設(shè)計(jì)的函數(shù)。下表中給出了與本文這幾種濾波器有關(guān)的函數(shù)。

具體函數(shù)的使用方法，這里不再贅述，可以在matlab的幫助中查看。

本文的最后，結(jié)合一道例題，給出其matlab程序和仿真結(jié)果。

matlab仿真程序如下：

% 設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬濾波器

%濾波器指標(biāo)：通帶截止頻率：2000πrad/s，阻帶截止頻率：4000πrad/s，

%通帶最大衰減：1dB，阻帶最小衰減：40dB

%編寫(xiě)者：丹梅

close all;clear;clc;

%濾波器的性能指標(biāo)

wp = 10002pi;%通帶截止頻率，單位：rad/s

ws = 20002pi;%阻帶截止頻率，單位：rad/s

Rp = 1;%通帶最大衰減，單位：dB

Rs = 40;%阻帶最小衰減，單位：dB

%----------------巴特沃斯濾波器--------------------%

% 計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)n和3dB截止頻率wn

[n_BW,wn_BW] = buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');

% 計(jì)算模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)(傳輸函數(shù)為分子、分母多項(xiàng)式形式)

[b_BW,a_BW] = butter(n_BW,wn_BW,'s');

%----------------切比雪夫1型濾波器--------------------%

% 計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)n和3dB截止頻率wn

[n_CB1,wn_CB1] = cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');

%注意：與buttord函數(shù)不同，cheb1ord函數(shù)返回參數(shù)的第二個(gè)wn就是wp，而不是3dB截止頻率

% 計(jì)算模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)(傳輸函數(shù)為分子、分母多項(xiàng)式形式)

[b_CB1,a_CB1] = cheby1(n_CB1,Rp,wn_CB1,'s');

%----------------切比雪夫2型濾波器--------------------%

% 計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)n和3dB截止頻率wn

[n_CB2,wn_CB2] = cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');

%注意：與buttord函數(shù)不同，cheb1ord函數(shù)返回參數(shù)的第二個(gè)wn就是wp，而不是3dB截止頻率

% 計(jì)算模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)(傳輸函數(shù)為分子、分母多項(xiàng)式形式)

[b_CB2,a_CB2] = cheby2(n_CB2,Rs,wn_CB2,'s');

%----------------橢圓（考爾）濾波器--------------------%

% 計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)n和3dB截止頻率wn

[n_EL,wn_EL]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,'s');

% 計(jì)算模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)(傳輸函數(shù)為分子、分母多項(xiàng)式形式)

[b_EL,a_EL]=ellip(n_EL,Rp,Rs,wn_EL,'s');

%---------------輸出四種濾波器階數(shù)-------------------%

display('巴特沃斯濾波器階數(shù)：');n_BW

display('切比雪夫1型濾波器階數(shù)：');n_CB1

display('切比雪夫2型濾波器階數(shù)：');n_CB2

display('橢圓濾波器階數(shù)：');n_EL

%---------------輸出濾波器頻率響應(yīng)-------------------%

% 求模擬濾波器的頻率響應(yīng)(分析頻率范圍為w = 0~2*ws)

w = [0:1:500]2ws/500;

H_BW = freqs(b_BW,a_BW,w);

db_BW = 20*log10((abs(H_BW)+eps)/max(abs(H_BW)));

H_CB1 = freqs(b_CB1,a_CB1,w);

db_CB1 = 20*log10((abs(H_CB1)+eps)/max(abs(H_CB1)));

H_CB2 = freqs(b_CB2,a_CB2,w);

db_CB2 = 20*log10((abs(H_CB2)+eps)/max(abs(H_CB2)));

H_EL = freqs(b_EL,a_EL,w);

db_EL = 20*log10((abs(H_EL)+eps)/max(abs(H_EL)));

% 繪圖(為了讀數(shù)方便，橫坐標(biāo)對(duì)pi進(jìn)行了歸一化)

figure;

subplot(221);plot(w/pi,db_BW,'LineWidth',2);

xlabel('(rad/s)');ylabel('(dB)');title('巴特沃斯濾波器');grid on;

subplot(222);plot(w/pi,db_CB1,'LineWidth',2);

xlabel('(rad/s)');ylabel('(dB)');title('切比雪夫1型濾波器');grid on;

subplot(223);plot(w/pi,db_CB2,'LineWidth',2);

xlabel('(rad/s)');ylabel('(dB)');title('切比雪夫2型濾波器');grid on;

subplot(224);plot(w/pi,db_EL,'LineWidth',2);

xlabel('(rad/s)');ylabel('(dB)');title('橢圓濾波器');grid on;

運(yùn)行結(jié)果如下：