寫在前面的話

文明的進(jìn)步總是朝著公平、公正、公開的方向。技術(shù)的進(jìn)步總是朝著舒適、便利、快捷的方向。鋼筆讓毛筆走入了歷史；網(wǎng)絡(luò)通訊讓惜字如金的電報(bào)，洋洋灑灑的書信都走入了歷史。

當(dāng)一種技術(shù)發(fā)展到極端的時(shí)候，往往另外一種顛覆性的技術(shù)就在醞釀中。內(nèi)燃機(jī)驅(qū)動(dòng)的汽車過(guò)去一百年來(lái)變得更漂亮、更舒適，當(dāng)然也發(fā)展到了極限。比如零到一百公里加速特性在5秒之內(nèi)；混合工況百公里油耗在5升以內(nèi)（每公里成本約為0.4元），這兩大分別評(píng)價(jià)動(dòng)力性和經(jīng)濟(jì)性的指標(biāo)對(duì)于家用純汽油內(nèi)燃機(jī)常規(guī)車輛來(lái)說(shuō)是不可逾越的邊界。即便是達(dá)到其中一個(gè)指標(biāo)都需要極高的成本（跑車，超輕汽車）。

作為技術(shù)替代品，電動(dòng)汽車輕而易舉的同時(shí)達(dá)到了上述目標(biāo)。電動(dòng)汽車疊加燃油車永遠(yuǎn)不再可能企及的智能駕駛技術(shù)引領(lǐng)了汽車進(jìn)入了新的時(shí)代。

工業(yè)仿真伴隨著計(jì)算技術(shù)和計(jì)算機(jī)硬件的進(jìn)步，過(guò)去六十年取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。但是工業(yè)仿真也存在類似汽車的計(jì)算技術(shù)極限：尺度跨度不超過(guò)6個(gè)數(shù)量級(jí)和計(jì)算在秒級(jí)完成。這兩個(gè)技術(shù)極限在目前以微分方程空間時(shí)間離散為核心的當(dāng)前主流求解器框架下是無(wú)法同時(shí)解決的。

以經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)為代表的AI輔助仿真技術(shù)打開了突破極限的通路：卷積技術(shù)使得人們可以在米級(jí)計(jì)算尺度上分辨微米級(jí)的幾何特征；圖網(wǎng)絡(luò)和物理知情網(wǎng)絡(luò)使得仿真計(jì)算可以在秒級(jí)完成。

AI輔助仿真技術(shù)方興未艾！

AI輔助有限元仿真

人工智能 （AI） 是近年來(lái)受到高度關(guān)注的領(lǐng)域之一。人工智能是指模仿人類智能的基于知識(shí)的系統(tǒng)，是使用復(fù)雜的算法和數(shù)學(xué)函數(shù)構(gòu)建的，這些算法和數(shù)學(xué)函數(shù)具有人類和理性思考和行動(dòng)的能力 。由于計(jì)算能力和新算法的進(jìn)步，AI 在過(guò)去三十年中經(jīng)歷了指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。機(jī)器學(xué)習(xí) （ML） 和深度學(xué)習(xí) （DL） 是 AI 的兩個(gè)子領(lǐng)域。ML 和 DL越來(lái)越多地在各個(gè)領(lǐng)域解決一些現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題，包括科學(xué)、工程、醫(yī)療保健、金融和經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)以及計(jì)算機(jī)視覺(jué)和自然語(yǔ)言處理。

數(shù)據(jù)被認(rèn)為是任何 ML 算法的核心。在輸入到任何 ML 模型之前，會(huì)對(duì)獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。數(shù)據(jù)質(zhì)量評(píng)估、檢查任何缺失值、清理（刪除任何異常值）、縮放和轉(zhuǎn)換都包含在數(shù)據(jù)預(yù)處理中。數(shù)據(jù)中的相關(guān)特征被饋送到 ML 算法。ML 模型經(jīng)過(guò)訓(xùn)練以了解訓(xùn)練數(shù)據(jù)的特征，并使用測(cè)試數(shù)據(jù)評(píng)估性能。

在過(guò)去的 80 年里，有限元法 （FEM） 已經(jīng)發(fā)展成為計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域著名的偏微分方程求解器 。有限元分析 （FEA） 因其能夠解決各種問(wèn)題領(lǐng)域而被廣泛使用，包括結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體流動(dòng)分析、熱傳導(dǎo)、增材制造、電氣和電子領(lǐng)域、生物工程等。有限元分析的過(guò)程是基于將幾何域離散化為更小的子域，稱為單元。在每個(gè)元素上，主變量使用插值函數(shù)（也稱為形狀函數(shù)或基函數(shù)）進(jìn)行近似。每個(gè)單元的控制方程是使用直接或變分或加權(quán)殘差方法得出的。代數(shù)元素方程在解空間中組裝在一起，并針對(duì)一級(jí)和二級(jí)變量求解生成的方程組。

科學(xué)和工程問(wèn)題通常分為三類：（a） 缺乏科學(xué)知識(shí)的純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題;（b） 科學(xué)知識(shí)有限的問(wèn)題，需要一定數(shù)量的數(shù)據(jù)來(lái)解釋物理定律以提供完整的解決方案;（c） 具有已知控制方程但計(jì)算成本太高而無(wú)法獲得完整解的問(wèn)題 [24]。FEA 的求解過(guò)程在數(shù)學(xué)上是密集的，因?yàn)樗婕懊鞔_的數(shù)學(xué)規(guī)則來(lái)描述問(wèn)題的物理特性。隨著問(wèn)題的復(fù)雜性，這個(gè)過(guò)程變得更具挑戰(zhàn)性。另一方面，ML 利用尋找新規(guī)則來(lái)描述任何沒(méi)有任何明確規(guī)則的現(xiàn)象。根據(jù)提供給 ML 算法的數(shù)據(jù)，它以隱式方式映射輸入和輸出。因此，由于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的發(fā)展，有限元 （FE） 社區(qū)也在研究 ML 和 DL 的應(yīng)用，以發(fā)現(xiàn)和實(shí)現(xiàn)計(jì)算力學(xué)的新范式。

此外，F(xiàn)EM 和 ML 有自己的特點(diǎn)，突出了它們的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。例如，F(xiàn)EM 的數(shù)學(xué)精度使其無(wú)法處理數(shù)據(jù)中的任何不穩(wěn)定性和噪聲。FEM 是基于數(shù)學(xué)的，更適合直接或正向分析。然而，由于缺乏獨(dú)特的解，F(xiàn)EA 不太適合于逆向分析。FEA 的輸出可能不包含足夠的信息，無(wú)法唯一地確定系統(tǒng)的輸入。

另一方面，機(jī)器學(xué)習(xí)算法，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （ANN），能夠在算法通過(guò)訓(xùn)練學(xué)習(xí)時(shí)處理不確定性和噪聲。ANN 的詳細(xì)信息將在后面的部分中討論。然而，ANN 是受生物學(xué)啟發(fā)的，它可以有效地處理非唯一的逆問(wèn)題。除此之外，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還通過(guò)映射訓(xùn)練數(shù)據(jù)的輸入輸出來(lái)學(xué)習(xí)。訓(xùn)練數(shù)據(jù)僅包含我們感興趣的一系列變量。但是，ANN 可以在提供的訓(xùn)練數(shù)據(jù)范圍之外學(xué)習(xí)該函數(shù)。準(zhǔn)確性可能會(huì)有所不同，或者結(jié)果的意義可能會(huì)降低，具體取決于與訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的偏差。這使得 ANN 比 FEM 更健壯。在對(duì) FE 模型進(jìn)行建模時(shí)，需要將誤差收斂為零。但是，在任何 ML 模型的建模中，在模型訓(xùn)練期間將誤差減少到零是不可取的。如果誤差為零，則 ML 模型將失去其泛化能力，這在 ML 文獻(xiàn)中稱為過(guò)擬合問(wèn)題。

由于其數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，ML 的效用超越了各個(gè)領(lǐng)域。在計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域，許多研究人員通過(guò)采用 ML 技術(shù)顯著推動(dòng)了該領(lǐng)域的發(fā)展，尤其是在計(jì)算資源受到限制的時(shí)期，早于 DL 的當(dāng)前時(shí)代。已經(jīng)出現(xiàn)了幾項(xiàng)開創(chuàng)性的工作，體現(xiàn)了 ML 在計(jì)算力學(xué)中的早期應(yīng)用。例如，研究人員在本構(gòu)建模、梁結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)識(shí)別、缺陷識(shí)別和裂紋分析方面做出了顯著的貢獻(xiàn)。

近幾十年來(lái)，ML 在 FEA 中的應(yīng)用已被廣泛報(bào)道。由于其通用的近似特性，與其他ML算法相比，ANN在各種應(yīng)用中都表現(xiàn)出了更好的性能。1990 年代初，F(xiàn)EM 中的 ANN 首次付諸實(shí)踐。使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)泊松方程的能量泛函進(jìn)行最小化，以解決有限元法中的電場(chǎng)問(wèn)題和不可壓縮粘性流問(wèn)題。在有限元元中實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的早期研究包括穩(wěn)態(tài)納維-斯托克問(wèn)題的最佳收斂準(zhǔn)則的估計(jì)、桁架的結(jié)構(gòu)分析、波傳播模擬、冷平板軋中的速度場(chǎng)和中性點(diǎn)預(yù)測(cè)、殘余應(yīng)力預(yù)測(cè)和彈塑性中變分原理的最小化。

ML的算法

ML 的主要任務(wù)可以分為回歸、分類和聚類?；诨貧w的 ML 模型適合給定數(shù)據(jù)集的線性或非線性曲線?；诜诸惖?ML 模型以監(jiān)督方式將數(shù)據(jù)集分類為預(yù)定義數(shù)量的類。聚類算法以無(wú)監(jiān)督方式對(duì)給定的示例集進(jìn)行分組根據(jù)我們的綜述，一些 ML 算法在 FEA 領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，例如支持向量機(jī) （SVM）、決策樹、隨機(jī)森林、k 最近鄰 （KNN）、k-means 聚類、邏輯回歸、ANN、CNN 和遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （RNN）。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （ANN） 是最常用的 ML 算法之一。ANN 的靈感來(lái)自生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。神經(jīng)元是 ANN 的基礎(chǔ)信息處理單元。輸入信號(hào)由它們各自的神經(jīng)元突觸加權(quán)，被匯總形成一個(gè)線性組合。提供了一個(gè)激活函數(shù)來(lái)限制神經(jīng)元的輸出，它是輸入的加權(quán)和的函數(shù)。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）是一種DL模型，用于處理網(wǎng)格模式的數(shù)據(jù)，如時(shí)間序列數(shù)據(jù)和圖像。CNN 架構(gòu)的主要構(gòu)建塊是卷積層、池化層和全連接層。卷積和池化層從輸入圖像中提取特征。卷積的數(shù)學(xué)運(yùn)算是使用多個(gè)核濾波器在卷積層中執(zhí)行的。一個(gè)卷積層（稱為特征圖）的輸出被傳遞到下一個(gè)層，以提取輸入圖像的其他相關(guān)特征。下一層，池化層通過(guò)減少特征圖的空間維度，對(duì)卷積層的輸出進(jìn)行下采樣。根據(jù)所使用的方法，有幾種類型的池化操作，如樹池化、門控池化、平均池化、最小池化、最大池化、全局平均池化（GAP）和全局最大池化。池化層的扁平化輸出通過(guò)全連接層傳遞，該層由可學(xué)習(xí)參數(shù)（即權(quán)重和偏差）以及神經(jīng)元組成，以執(zhí)行回歸或分類任務(wù)。

DL 是指神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度，即 DL 具有更多數(shù)量的隱藏層，使 DL 能夠捕獲數(shù)據(jù)的復(fù)雜行為。ML 模型通常需要特征工程。另一方面，ANN 使 DL 能夠以原始形式處理數(shù)據(jù)，并自行學(xué)習(xí)特征。包含噪聲、異常值和異常的大型數(shù)據(jù)集使特征提取更具挑戰(zhàn)性。雖然 DL 確實(shí)是 ML 的一個(gè)子集，但根本區(qū)別在于它們的學(xué)習(xí)機(jī)制和數(shù)據(jù)要求。DL 表現(xiàn)出更復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程，與更廣泛的 ML 算法類別相比，往往需要更多的數(shù)據(jù)。ML 模型在處理大型和更高維數(shù)據(jù)集時(shí)面臨困難。這通常會(huì)導(dǎo)致降維。ML 通過(guò)分解為更小的任務(wù)，然后組合結(jié)果來(lái)解決問(wèn)題。另一方面，DL 以端到端的方式解決問(wèn)題。

ML與預(yù)處理

預(yù)處理是有限元分析三個(gè)步驟中的第一步，涉及定義幾何結(jié)構(gòu)、材料屬性、網(wǎng)格、載荷和邊界條件、單元類型和積分參數(shù)。幾何結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)備是 FEM 預(yù)處理的關(guān)鍵步驟。

眾所周知，有限元解的質(zhì)量取決于有限元網(wǎng)格的質(zhì)量。具有足夠細(xì)網(wǎng)格的 FEM 模型可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，盡管與粗網(wǎng)格相比，計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)。粗網(wǎng)格可能會(huì)在較短的時(shí)間內(nèi)給出結(jié)果，但精度可能不是最佳的。結(jié)構(gòu)良好的網(wǎng)格可以在更短的計(jì)算時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)更高的精度。因此，了解是否需要重新劃分網(wǎng)格變得至關(guān)重要。為了確保結(jié)果的質(zhì)量可接受，F(xiàn)E 網(wǎng)格需要通過(guò)各種質(zhì)量檢查。這包括檢查一些指標(biāo)，如縱橫比、偏度、包裹因子、允許的角角、正交度和雅可比矩陣。對(duì)于復(fù)雜的域和仿真，需要投入大量手動(dòng)工作來(lái)提高網(wǎng)格生成的質(zhì)量。這些網(wǎng)格需要手動(dòng)審查，如果需要，通常會(huì)執(zhí)行重新網(wǎng)格劃分。Sprave 和 Drescher開發(fā)了兩種基于分類的 ML 模型：基于樹的模型和 ANN 模型，用于對(duì)網(wǎng)格的質(zhì)量進(jìn)行分類。這兩個(gè) ML 模型都采用 7 個(gè)特征來(lái)表示網(wǎng)格的圖形。這些模型在實(shí)際乘用車的部件上進(jìn)行了測(cè)試。在網(wǎng)格細(xì)化過(guò)程中，最初在相對(duì)粗糙的均勻網(wǎng)格上計(jì)算解。然后，估計(jì)后驗(yàn)誤差。根據(jù)容錯(cuò)值，在本地細(xì)化網(wǎng)格，直到獲得滿意的結(jié)果。

ML與單元特征

單元特征是指 FE 的屬性，它決定了單元模擬特定行為的能力。例如，一維桁架單元只能模擬軸向變形，而無(wú)法模擬剪切或彎曲變形。同樣，二維 （2D） 線性單元也無(wú)法模擬彎曲變形問(wèn)題。這些功能由單元公式?jīng)Q定。單元計(jì)算中的兩個(gè)關(guān)鍵組成部分是形狀函數(shù)和數(shù)值積分點(diǎn)。接下來(lái)討論 ML 在形狀函數(shù)和數(shù)值積分點(diǎn)評(píng)估中的應(yīng)用。

在有限元仿真中，一階拉格朗日最常用于近似幾何和主場(chǎng)變量。使用一階拉格朗日多項(xiàng)式的缺點(diǎn)是它在單元邊界上是C0連續(xù)的。此外，在分析之前必須選擇多項(xiàng)式的次數(shù)。通用近似特性使 ANN 成為用于計(jì)算形狀函數(shù)的良好候選者。對(duì)于給定的輸入節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)集，ANN 模型可以學(xué)習(xí)插值函數(shù)。

材質(zhì)建模

本構(gòu)模型描述了材料對(duì)外部載荷的響應(yīng)。因此，數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確性在很大程度上取決于描述材料行為的適當(dāng)材料模型的可用性。在傳統(tǒng)方法中，材料建模是指基于數(shù)學(xué)模型和經(jīng)驗(yàn)關(guān)系以及某些簡(jiǎn)化假設(shè)的本構(gòu)定律的發(fā)展。由于涉及復(fù)雜的物理場(chǎng)，使用傳統(tǒng)方法進(jìn)行材料建模是具有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域之一，這使得該過(guò)程非常復(fù)雜且成本高昂。

Kirchdoerfer 和 Ortiz提出了一種新的計(jì)算方法，稱為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)計(jì)算，其中實(shí)驗(yàn)結(jié)果直接用于計(jì)算，而不考慮任何材料模型。該方法在滿足約束方程和守恒定律的同時(shí)，計(jì)算非線性 3D 桁架問(wèn)題和非線性彈性實(shí)體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。這項(xiàng)工作進(jìn)一步擴(kuò)展為開發(fā)一種更高效的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型，稱為 max-ent 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)計(jì)算，可以處理噪聲較大的材料數(shù)據(jù)。通過(guò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法進(jìn)行的材料建模旨在通過(guò)最小化最小二乘意義上的距離函數(shù)，從預(yù)先指定的材料數(shù)據(jù)集中找到最接近的材料可能狀態(tài)。因此，這種方法的準(zhǔn)確性在很大程度上取決于可用數(shù)據(jù)的質(zhì)量和完整性。為了獲得必要的質(zhì)量和數(shù)量數(shù)據(jù)，需要進(jìn)行足夠數(shù)量的實(shí)驗(yàn)。

通常，應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)用于使用 DL 對(duì)本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行建模。這與發(fā)展本構(gòu)關(guān)系有直接聯(lián)系。對(duì)于復(fù)雜模型來(lái)說(shuō)，通過(guò)數(shù)值仿真或?qū)嶒?yàn)獲得這些數(shù)據(jù)（應(yīng)力-應(yīng)變對(duì)）變得具有挑戰(zhàn)性。使用 DL 開發(fā)本構(gòu)建模的另一種方法是使用間接數(shù)據(jù)（例如力和位移場(chǎng)），這些數(shù)據(jù)在測(cè)量值和基本本構(gòu)關(guān)系之間沒(méi)有直接聯(lián)系，也更容易測(cè)量。中使用的 FE 代碼依賴于 TensorFlow 或 PyTorch 等自動(dòng)微分包。此代碼生成的結(jié)果在用于傳統(tǒng) FE 程序的裝配和求解器階段之前，需要進(jìn)行額外的后處理。因此，這個(gè)補(bǔ)充處理步驟會(huì)為整個(gè)解決方案過(guò)程增加額外的時(shí)間。為了克服這一挑戰(zhàn)，DNN 與 Abaqus 集成，允許 DNN 和 Abaqus 之間進(jìn)行數(shù)據(jù)通信。此外，將應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)視為歷史變量，在非彈性變形的彈性階段會(huì)出現(xiàn)額外的誤差。除了使用應(yīng)力-應(yīng)變作為歷史變量，累積的絕對(duì)總應(yīng)變也可用于超彈性和塑性模型。

求解器

此步驟也稱為 FEA 的處理或求解器步驟。它涉及單元?jiǎng)偠染仃?、力矢量等元素量的?jì)算，然后將這些量組裝成全局方程組。主要變量是通過(guò)在施加近似邊界條件后求解全局方程組來(lái)計(jì)算的。下面討論了 ML 在 FEA 求解器步驟中的應(yīng)用。

為了計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚕琂ung 等提出了一種深度學(xué)習(xí)模型，稱為深度學(xué)習(xí)有限元。該模型采用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以及八節(jié)點(diǎn)和四節(jié)點(diǎn)四邊形平面應(yīng)力單元的泊松比作為輸入。該模型給出應(yīng)變-位移矩陣作為輸出，用于計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

接觸

即使對(duì)于最簡(jiǎn)單的問(wèn)題，接觸影響分析也需要大量的計(jì)算工作。接觸影響分析的重要步驟之一是確定可能發(fā)生接觸的區(qū)域。它由兩個(gè)階段組成：一個(gè)全局搜索階段，用于查找可能的節(jié)點(diǎn)-段對(duì)，另一個(gè)本地搜索階段，用于查找段內(nèi)接觸點(diǎn)的確切局部坐標(biāo)。在找到正確的接觸位置后，通常通過(guò)求解最小距離搜索算法，使用各種技術(shù)（如罰、拉格朗日乘子、增廣拉格朗日乘子等）來(lái)應(yīng)用接觸約束。

在分析開始之前，接觸區(qū)域是未知的。聯(lián)系人搜索階段需要花費(fèi)大量精力才能正確識(shí)別聯(lián)系人位置。為了克服這個(gè)問(wèn)題，Oishi 和 Yoshimura 提出了一種使用 ANN 的無(wú)迭代本地聯(lián)系人搜索方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)接觸點(diǎn)的局部坐標(biāo)值，同時(shí)將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為輸入值。他們后來(lái)提出了一種快速穩(wěn)定的無(wú)迭代曲面對(duì)曲面接觸搜索方法，該方法由 NURBS 使用 ML 定義。他們同時(shí)使用 ANN 和 SVM 來(lái)確定一對(duì)表面段是否接觸。

求解器

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的通用近似特性使它們能夠以所需的精度水平逼近任何函數(shù)，前提是網(wǎng)絡(luò)中有足夠數(shù)量的神經(jīng)元。這一獨(dú)特的特性將 DL 推向了科學(xué) ML 的新前沿。DL 已在多個(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用，包括求解 PDE 和常微分方程 （ODE）。研究人員利用 DL 的強(qiáng)大功能，同時(shí)使用 DNN 和 CNN、PINN，來(lái)解決各種領(lǐng)域的 PDE 和 ODE。

由于無(wú)法獲得足夠的數(shù)據(jù)，絕大多數(shù)最先進(jìn)的 ML 技術(shù)都缺乏穩(wěn)健性，并且在分析復(fù)雜的物理、生物和工程系統(tǒng)時(shí)無(wú)法提供任何收斂保證。因此，在部分信息下得出結(jié)論。在一項(xiàng)開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)中，Raissi 和合作者引入了物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （PINN） 的概念，在函數(shù)近似領(lǐng)域開創(chuàng)了一種新的范式。PINN 的本質(zhì)在于其獨(dú)特的能力，不僅可以用作通用函數(shù)逼近器，還可以封裝控制給定數(shù)據(jù)集的本征物理學(xué)。這種范式超越了傳統(tǒng)的函數(shù)擬合范圍，結(jié)合了一般偏微分方程中編碼的基本物理原理的知識(shí)。此外，PINN 還具有處理正向和逆向問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。PINN 的基本方法是使用 DL 來(lái)最小化配置點(diǎn)的損失。這些配置點(diǎn)被認(rèn)為是邊界點(diǎn)、初始點(diǎn)以及域中一些點(diǎn)的組合。損失函數(shù)由控制偏微分方程的殘差組成，包括作為懲罰參數(shù)的邊界項(xiàng)。

PINN 采用偏微分方程的強(qiáng)形式，并最大限度地減少 DNN 的殘差形式。雖然 FEM 和 PINN 的目標(biāo)相同，但獲得解決方案的方法不同。在 PINN 中，邊界條件被合并到整個(gè)域的損失函數(shù)本身中，而 FEM 以單元形式施加邊界條件。研究人員提出了許多基于有限元法和PINN的研究方法，用于不同材料的力學(xué)分析：彈性、粘彈性、超彈性、塑性、超彈性。

模擬過(guò)程

耐撞性是指結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)在碰撞期間通過(guò)有效吸收和消散沖擊能量來(lái)保護(hù)乘員或有效載荷的能力。它涉及設(shè)計(jì)和工程措施，以盡量減少傷害和損害，最終提高乘員的安全性。由于其高度非線性的行為，處理碰撞現(xiàn)象是最具挑戰(zhàn)性的任務(wù)之一。在所需誤差范圍內(nèi)捕獲崩潰事件需要非常多的仿真?？紤]到車輛的成本、安全性和性能，車輛碰撞仿真對(duì)于確定最佳設(shè)計(jì)參數(shù)具有重要意義。ABAQUS、LS-DYNA、PAMCRASH、ANSYS等商業(yè)軟件包用于車輛碰撞仿真。這些模擬需要大量的計(jì)算資源和時(shí)間，因?yàn)橛邢拊W(wǎng)格可能包含多達(dá)1000萬(wàn)個(gè)單元。由于其巨大的計(jì)算成本以及機(jī)器學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)進(jìn)步的同步增長(zhǎng)，耐撞性領(lǐng)域吸引了研究人員應(yīng)用各種 ML 技術(shù)，以減少計(jì)算時(shí)間并簡(jiǎn)化和加速耐撞性的設(shè)計(jì)過(guò)程。

為了以更少的計(jì)算時(shí)間分析碰撞仿真的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，基于 FE 仿真數(shù)據(jù)構(gòu)建了 ML 模型。Omar等使用RNN來(lái)確定車輛在撞擊過(guò)程中的碰撞特性。該模型采用 5 個(gè)輸入，其中包含當(dāng)前狀態(tài)的位移、速度和加速度，以及前兩步的延遲加速度。RNN 模型預(yù)測(cè)新狀態(tài)的加速度，這決定了動(dòng)態(tài)沖擊力。使用 ML 進(jìn)行車輛碰撞分析涉及利用從 FE 仿真中獲得的高維數(shù)據(jù)。

損傷

損傷是由于外部載荷在材料內(nèi)部形成微孔和微裂紋的過(guò)程，導(dǎo)致其性能惡化。損傷特征的分析可以通過(guò)基于模型或數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法來(lái)進(jìn)行。在基于模型的方法中，使用損傷變量評(píng)估材料的損傷狀態(tài)，這些變量可以是標(biāo)量或張量。然后使用各種損傷增長(zhǎng)定律研究損傷隨時(shí)間的演變，例如 Lemaitre、Tai 和 Yang、Chandrakanth 和 Pandey 或 Bonora 模型。制定本構(gòu)方程來(lái)描述受損材料的機(jī)械行為，并使用 FEA 來(lái)解決由此產(chǎn)生的初始值問(wèn)題。另一方面，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，如SHM，使用傳感器來(lái)檢測(cè)和分析工程結(jié)構(gòu)中的損傷。然而，基于 FEA 的損傷建模面臨著與復(fù)雜幾何形狀、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、幾何非線性以及需要進(jìn)行機(jī)械測(cè)試以確定材料特性相關(guān)的挑戰(zhàn)。SHM 還遇到了有關(guān)可靠性、專業(yè)知識(shí)要求、技術(shù)選擇、時(shí)間和成本的問(wèn)題。為了應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn)，研究人員探索了使用各種 ML 算法來(lái)研究損傷和斷裂，提供了優(yōu)于傳統(tǒng) FEA 和 SHM 方法的潛在解決方案和改進(jìn)。

SHM 涉及檢測(cè)損壞、定位損壞、量化其嚴(yán)重程度以及預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的剩余壽命。無(wú)損評(píng)估 （NDE） 等傳統(tǒng)方法成本高昂、耗時(shí)且需要專業(yè)知識(shí)。在 FEM 中，損傷分析涉及迭代求解前向問(wèn)題。逆向分析根據(jù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)預(yù)測(cè)損壞，但設(shè)置參數(shù)和專業(yè)知識(shí)帶來(lái)了挑戰(zhàn)。ML 通過(guò)利用數(shù)據(jù)來(lái)學(xué)習(xí)模式來(lái)克服這些挑戰(zhàn)，為 SHM 任務(wù)提供靈活且適應(yīng)性強(qiáng)的框架。

斷裂

斷裂是一種特殊類型的損傷，當(dāng)材料在過(guò)大的應(yīng)力或負(fù)載下失效時(shí)，導(dǎo)致材料分離或斷裂成兩塊或多塊。斷裂可以突然發(fā)生，并且是災(zāi)難性的（脆性斷裂），也可能逐漸發(fā)生，并伴有明顯的裂紋擴(kuò)展（韌性斷裂）。斷裂通常以材料內(nèi)部存在裂紋或裂縫為特征，是結(jié)構(gòu)工程和材料科學(xué)中的關(guān)鍵問(wèn)題。科學(xué)家們對(duì)預(yù)測(cè)聚合物復(fù)合材料斷裂韌性的不同 ML 算法進(jìn)行了全面研究。

疲勞

疲勞是指材料在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)受到循環(huán)載荷或應(yīng)力時(shí)發(fā)生的漸進(jìn)性和局部損傷。當(dāng)材料經(jīng)歷重復(fù)的加載和卸載循環(huán)時(shí)，例如在機(jī)械部件或結(jié)構(gòu)中，這一點(diǎn)尤其重要。Silva等使用粘接接頭的極端隨機(jī)樹（ERT）模型預(yù)測(cè)疲勞壽命?；跇涞哪Ｐ褪窃谙鄬?duì)較小的數(shù)據(jù)集上開發(fā)的，只有 365 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。該模型將應(yīng)力比、應(yīng)力幅值、應(yīng)力集中因子和三軸度（靜水應(yīng)力與等效應(yīng)力的比值）作為輸入。將基于樹的模型的性能與線性回歸模型的性能進(jìn)行了比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，基于樹的模型在預(yù)測(cè)疲勞壽命方面表現(xiàn)更好。Thakre 和 Kanjarla還使用隨機(jī)森林回歸來(lái)預(yù)測(cè)雙相鋼中的損傷起始應(yīng)力。

為了研究疲勞行為，需要大量的載荷循環(huán)才能在兩個(gè)受振動(dòng)的接觸表面之間產(chǎn)生裂紋。如果特定裂紋擴(kuò)展行為所需的加載周期是先驗(yàn)已知的，則可以顯著縮短此測(cè)試時(shí)間。為了減少測(cè)試時(shí)間，Gorji等使用ANN研究了C-Mn鋼在循環(huán)載荷下的裂紋擴(kuò)展。ANN 模型以接觸寬度、峰值表面壓力和最大表面剪切為輸入，并預(yù)測(cè)裂紋深度的長(zhǎng)度和閾值應(yīng)力強(qiáng)度因子。

屈曲

屈曲是一種結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定現(xiàn)象，當(dāng)細(xì)長(zhǎng)桿件受到壓縮載荷時(shí)突然發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)或彎曲，脫離其筆直和穩(wěn)定的配置。這是一種關(guān)鍵的失效模式，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)和機(jī)械系統(tǒng)倒塌。

胡使用 ANN 預(yù)測(cè)碳纖維增強(qiáng)聚合物 （CFRP） 增強(qiáng)鋼柱的屈曲能力。這項(xiàng)工作還包括對(duì) DNN 模型輸出相對(duì)于其 9 個(gè)輸入的敏感性分析。發(fā)現(xiàn)屈曲響應(yīng)對(duì)所有 9 個(gè)輸入中柱子的長(zhǎng)度和偏心率更敏感。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，在特定范圍之外出現(xiàn)任何長(zhǎng)度和偏心率異常值的可能性非常小。網(wǎng)絡(luò)輸出相對(duì)于其他變量的敏感性較低，這意味著 ANN 模型的穩(wěn)健性。這意味著，對(duì)于用于構(gòu)建模型的數(shù)據(jù)范圍之外的參數(shù)，DNN 模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性不會(huì)有太大偏差。

后處理

獲得有限元結(jié)果后，通過(guò)對(duì)主要變量（即位移、速度、溫度）進(jìn)行導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算次要變量（即應(yīng)變、應(yīng)力、熱通量）。因此，與主變量相比，這些派生量的準(zhǔn)確率較低?？梢酝ㄟ^(guò)網(wǎng)格細(xì)化來(lái)提高精度。但是，這需要更高的計(jì)算成本。SPR是試圖提高這些推導(dǎo)量（應(yīng)力）的準(zhǔn)確性的技術(shù)之一。SPR 技術(shù)使用在高斯點(diǎn)處計(jì)算的應(yīng)力值的多項(xiàng)式近似 。這種技術(shù)的缺點(diǎn)是它假定多項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)描述應(yīng)力場(chǎng)。這個(gè)假定的多項(xiàng)式場(chǎng)可能無(wú)法完全捕獲應(yīng)力場(chǎng)。Khoei等使用ANN作為函數(shù)近似來(lái)計(jì)算應(yīng)力場(chǎng)。使用 ANN 作為函數(shù)近似可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)應(yīng)力分布，尤其是在高應(yīng)力梯度區(qū)域。在他們的方法中，為每個(gè)應(yīng)力分量訓(xùn)練了三種不同的 ANN 模型。

總結(jié)

在 FEA 環(huán)境中應(yīng)用 ML 技術(shù)在 FEA 工作流程的各個(gè)階段（預(yù)處理、處理和后處理）都顯示出可喜的結(jié)果。將 ML 集成到 FEA 的各個(gè)階段具有巨大的優(yōu)勢(shì)。它提高了計(jì)算效率，從而加快了分析和設(shè)計(jì)迭代的速度。基于 ML 的代理模型提供計(jì)算成本更低的近似解，從而能夠探索更大的設(shè)計(jì)空間。此外，ML 有助于逆向參數(shù)識(shí)別，有助于模型校準(zhǔn)和優(yōu)化。這些進(jìn)步共同提高了 FEA 仿真的可靠性、速度和有效性，使工程師和研究人員能夠做出明智的決策，并在廣泛的行業(yè)和領(lǐng)域中實(shí)現(xiàn)更好的工程設(shè)計(jì)和分析結(jié)果。