文章來(lái)源：老千和他的朋友們

原文作者：孫千

本文主要講述掃描電鏡圖像分辨率評(píng)估新方法(SIRAF)。

SEM是一種功能強(qiáng)大的工具，在材料科學(xué)、生物學(xué)、納米技術(shù)和醫(yī)學(xué)研究等科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其常見(jiàn)用途是測(cè)量納米和微米尺度上物體或結(jié)構(gòu)的尺寸。

大多數(shù)圖像可視為理想圖像（It(x,y)）通過(guò)與核函數(shù)的卷積而產(chǎn)生模糊效果。這個(gè)核函數(shù)被稱(chēng)為圖像點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF(x,y)）。對(duì)于SEM，PSF主要由電子束的形狀和空間密度決定，通常遵循艾里斑模式。艾里斑的數(shù)學(xué)表達(dá)式可用高斯函數(shù)近似，這適用于聚焦和近聚焦圖像。

PSF的寬度可作為分辨率的度量標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)于成像信號(hào)的脈沖響應(yīng)。因此，PSF寬度反映了圖像中最小可分辨對(duì)象的大小，并影響尺寸測(cè)量的不確定性。描述PSF寬度的常用參數(shù)是高斯半高全寬（FWHM）。除PSF外，SEM圖像形成過(guò)程中還存在噪聲影響（N(x,y)），主要由源和樣品電子發(fā)射的隨機(jī)性引起。因此，整體圖像形成過(guò)程可描述為：

ISEM(x, y) = It(x, y)?PSF(x, y) + N(x, y)

其中ISEM(x,y)為獲取的SEM圖像，?為卷積算子，x和y為圖像坐標(biāo)。

理想的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（Point Spread Function, PSF）應(yīng)當(dāng)具有兩個(gè)像素的最大空間周期，使得如階躍函數(shù)般銳利的強(qiáng)度躍遷能夠完全分辨，這一標(biāo)準(zhǔn)被稱(chēng)為奈奎斯特采樣。然而，在實(shí)際成像過(guò)程中，即使在最優(yōu)設(shè)置條件下，PSF往往對(duì)獲取的圖像產(chǎn)生不可避免的模糊效應(yīng)，這種現(xiàn)象在高倍率成像中表現(xiàn)得尤為明顯。

當(dāng)束斑直徑超過(guò)單個(gè)像素的尺寸時(shí)，相鄰像素的信息會(huì)發(fā)生混合，從而導(dǎo)致圖像的實(shí)際分辨率降低。這種現(xiàn)象被稱(chēng)為過(guò)采樣和空放大，它直接影響了成像系統(tǒng)的分辨能力。因此，在任何成像系統(tǒng)中獲取高分辨率圖像時(shí)，PSF的優(yōu)化都是一個(gè)關(guān)鍵的技術(shù)過(guò)程。

對(duì)于SEM而言，PSF主要受電子束的尺寸和形狀影響。這些參數(shù)不僅取決于用戶(hù)的操作技能，還與電鏡的各項(xiàng)設(shè)置和校準(zhǔn)狀態(tài)密切相關(guān)，如焦點(diǎn)調(diào)節(jié)、像散校正、光闌選擇、束斑尺寸、探針輪廓、電壓設(shè)置、掃描速率和束流等參數(shù)。更為復(fù)雜的是，樣品本身也會(huì)通過(guò)二次電子產(chǎn)額、發(fā)射區(qū)域大小、表面形貌、位置漂移和充電程度等因素對(duì)PSF產(chǎn)生顯著影響。

這些多重因素的綜合作用增加了PSF評(píng)估的復(fù)雜性，使得PSF可能因用戶(hù)、儀器和圖像的不同而產(chǎn)生變化，甚至在同一圖像的不同局部區(qū)域也會(huì)因樣品的高度、厚度、成分和形貌差異而呈現(xiàn)出不同的特征。

目前尚無(wú)簡(jiǎn)單且成熟的方法來(lái)評(píng)估SEM圖像的實(shí)際分辨率，盡管已提出多種方法。這些方法包括間隙法、對(duì)比度-梯度法以及基于快速傅里葉變換（FFT）分析的方法。

間隙法作為最早的技術(shù)之一，其原理是依靠用戶(hù)識(shí)別獲取圖像中兩個(gè)物體之間最小可辨別的間隙，并將其作為圖像分辨率的度量標(biāo)準(zhǔn)。然而，這種方法高度依賴(lài)于樣品特性和用戶(hù)的主觀(guān)判斷，主要適用于標(biāo)準(zhǔn)樣品，如碳基底上的金或錫顆粒等特定樣品類(lèi)型，其應(yīng)用范圍相對(duì)有限。

相比之下，對(duì)比度-梯度法是一種全自動(dòng)技術(shù)。它將圖像分辨率定義為從5×5像素子集中局部梯度和對(duì)比度躍遷確定的局部分辨率的加權(quán)調(diào)和平均值。該方法已被證明優(yōu)于間隙法，但在處理高分辨率和噪聲圖像方面存在困難。

基于FFT分析的方法首先將圖像分解為具有不同波長(zhǎng)的加權(quán)正弦函數(shù)，然后利用幅度譜或功率譜進(jìn)行分辨率和像散測(cè)量。在這類(lèi)方法中，SMART程序是一個(gè)較為典型的應(yīng)用，它要求用戶(hù)輸入閾值來(lái)區(qū)分功率譜中的信號(hào)和噪聲，從而使程序能夠?qū)E圓擬合到圖像的二值化FFT，并利用其長(zhǎng)軸和短軸來(lái)估算圖像分辨率和像散。然而，由于該方法依賴(lài)用戶(hù)區(qū)分信號(hào)和噪聲的主觀(guān)判斷能力，可能存在系統(tǒng)性偏差。

Mizutani等人在2016年提出了另一種FFT方法，通過(guò)計(jì)算功率譜的徑向平均值，并將直線(xiàn)擬合到所得曲線(xiàn)的陡峭部分，基于擬合線(xiàn)的斜率估算高斯PSF的半高全寬。但是，該方法涉及用直線(xiàn)近似非線(xiàn)性數(shù)據(jù)集，這種處理方式可能存在理論上的問(wèn)題。

互相關(guān)方法作為另一種基于FFT的技術(shù)，通過(guò)將像素子集的FFT復(fù)共軛與來(lái)自同一圖像的位移像素子集的FFT相乘，然后進(jìn)行逆FFT處理來(lái)估算分辨率。盡管該方法具有較高的精度，但需要調(diào)整可調(diào)參數(shù)以獲得最大的精度和準(zhǔn)確性，且僅限于沒(méi)有高對(duì)比度特征的均勻樣品。

為了解決現(xiàn)有方法的局限性，Anders Brostrom等人提出了基于傅里葉分析的空間圖像分辨率評(píng)估（SIRAF）算法。該算法采用FFT分析技術(shù)，能夠估算圖像中尺寸測(cè)量伴隨的不確定性，直接從單個(gè)圖像提供分辨率測(cè)量結(jié)果，無(wú)需額外的用戶(hù)輸入，但為用戶(hù)提供了修改和檢查結(jié)果的選項(xiàng)。

SIRAF算法的核心創(chuàng)新在于，它不是簡(jiǎn)單地?cái)M合直線(xiàn)，而是將理論推導(dǎo)的函數(shù)擬合到幅度譜的徑向平均值。這種方法基于兩個(gè)關(guān)鍵假設(shè)：首先，PSF可用高斯函數(shù)進(jìn)行合理近似；其次，樣品圖像中的邊緣是銳利的，可用階躍函數(shù)進(jìn)行描述。這些假設(shè)對(duì)于包含均勻背景上高對(duì)比度結(jié)構(gòu)的樣品是合理的，例如沉積在碳基底上的顆?；蛞后w中顆粒的原位STEM圖像。

SIRAF算法經(jīng)過(guò)了系統(tǒng)性的驗(yàn)證測(cè)試。首先，該算法在一系列模擬圖像上進(jìn)行了測(cè)試，這些模擬圖像使用基于Cizmar等人2008年工作的定制Python代碼生成。模擬圖像涵蓋了廣泛的參數(shù)設(shè)置，在焦點(diǎn)、像散、噪聲、強(qiáng)度差異、振動(dòng)效應(yīng)以及顆粒大小、對(duì)比度和邊緣效應(yīng)方面都存在變化，這使得研究人員能夠系統(tǒng)地識(shí)別算法的潛在陷阱和不足之處。

此外，該算法還在來(lái)自碳上金樣品的一系列SEM圖像上進(jìn)行了實(shí)際測(cè)試，這些圖像在多種不同倍率下作為焦點(diǎn)系列獲取。最終，該方法在包括二次電子和背散射SEM、SEM中的STEM、高角環(huán)形暗場(chǎng)STEM、明場(chǎng)TEM以及明場(chǎng)和暗場(chǎng)光學(xué)圖像在內(nèi)的多種成像模式上進(jìn)行了綜合演示。

研究結(jié)果表明，SIRAF算法在所有測(cè)試情況下都給出了合理和可靠的結(jié)果，證明了該方法對(duì)多種成像模式具有良好的穩(wěn)健性和通用性。對(duì)于計(jì)量學(xué)應(yīng)用而言，能夠針對(duì)具體情況估算圖像分辨率，以考慮尺寸測(cè)量的不確定性并評(píng)估最小可分辨物體，具有重要的實(shí)際意義。

實(shí)驗(yàn)方法

在許多SEM圖像中，小物體的強(qiáng)度輪廓通常呈現(xiàn)為平滑的峰，相當(dāng)于高斯模糊的點(diǎn)源。相比之下，較大物體顯示更銳利的變化，在其中心有一個(gè)平臺(tái)區(qū)域，類(lèi)似于兩個(gè)符號(hào)相反的高斯模糊階躍函數(shù)——一個(gè)向上，另一個(gè)向下。基于這些觀(guān)察，假設(shè)SEM圖像中的物體可用與高斯函數(shù)卷積的階躍函數(shù)來(lái)近似。由于符號(hào)變化不影響頻率空間中的函數(shù)，考慮一個(gè)階躍函數(shù)就足夠了。

階躍函數(shù)：h(x) = 1/2 (1 + sgn(x))(1)

高斯函數(shù)：g(x) = βe^(-x2/(2σ2))(2)

其中，x為空間坐標(biāo)，β為幅度縮放參數(shù)，σ為高斯PSF的標(biāo)準(zhǔn)偏差。感興趣的參數(shù)是σ，因?yàn)樗c背景和物體之間過(guò)渡邊緣的清晰度相關(guān)。在本研究中，F(xiàn)WHM被用作分辨率度量，約為2.355σ。

為獲得整個(gè)圖像的平均FWHM，分析在頻率空間中進(jìn)行，因此需要兩個(gè)函數(shù)的傅里葉變換（FT）：

階躍函數(shù)的傅里葉變換：FFT[h(x)] = H(k) = 1/2 δ(k) - i/(πk)(3)

高斯函數(shù)的傅里葉變換：FFT[g(x)] = G(k) = β√(2π)σe^(-2(πσk)2)(4)

其中k為頻率，H(k)和G(k)分別為h(x)和g(x)的FT。DC分量（k = 0）與此分析無(wú)關(guān)，因?yàn)榉直媛市畔⑽挥趉 ≠ 0分量中，因此可以忽略H(k)中的delta函數(shù)。

根據(jù)卷積定理，得到：

G(k)*H(k) = -iσβ√(2π)/k e^(-2(πσk)2)(5)

獲取G(k)*H(k)的絕對(duì)值以得到幅度譜。這樣做會(huì)丟棄相位貢獻(xiàn)并消除復(fù)數(shù)值(i)。在函數(shù)可用于擬合之前，添加值1并取自然對(duì)數(shù)。這樣壓縮了幅度譜中覆蓋的動(dòng)態(tài)范圍并確保正值，使后續(xù)擬合程序更加穩(wěn)健。因此，用于擬合的函數(shù)由以下方程給出：

c + ln(1 + |G(k)*H(k)|) = c + ln(1 + σβ√(2π)/k e^(-2(πσk)2)) (6)

其中c為擬合過(guò)程中使用的任意縮放參數(shù)。

圖1. (a–d) SIRAF算法的步驟，下文將詳細(xì)描述。(a)原始圖像，(b)應(yīng)用漢寧（Hanning）過(guò)濾器后的圖像，(c)漢寧過(guò)濾圖像的振幅譜，(d)在振幅譜上標(biāo)記的距離區(qū)間示例，(e)各距離區(qū)間的平均振幅與其半徑的關(guān)系圖。圖中藍(lán)色繪制的是從圖像本身獲得的數(shù)值，而紅色虛線(xiàn)繪制的是用方程(6)中表達(dá)式擬合得到的結(jié)果。

FFT處理的核心步驟

SIRAF算法的核心在于對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行一系列精心設(shè)計(jì)的FFT處理步驟。首先，算法采用漢寧窗（Hanning window）對(duì)原始圖像進(jìn)行預(yù)處理。這一步驟的重要性在于消除圖像邊界處的不連續(xù)性問(wèn)題。在FFT分析中，由于循環(huán)邊界條件的存在，圖像邊界的不連續(xù)性會(huì)在幅度譜中產(chǎn)生明顯的垂直和水平亮線(xiàn)，即所謂的吉布斯效應(yīng)（Gibbs effect）。漢寧窗的應(yīng)用通過(guò)對(duì)圖像中心區(qū)域賦予更高權(quán)重，而對(duì)靠近邊界的區(qū)域逐漸降權(quán)至零，有效緩解了這一問(wèn)題。

在幅度譜分析階段，算法對(duì)位移FFT圖像的絕對(duì)值進(jìn)行重新縮放處理。具體而言，通過(guò)在獲取自然對(duì)數(shù)之前將所有數(shù)值加1，確保了數(shù)據(jù)的數(shù)值穩(wěn)定性。隨后，基于像素到圖像中心的歐幾里得距離，將像素分配到不同的距離區(qū)間中。

這種分區(qū)策略的精妙之處在于，通過(guò)將像素坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化至圖像尺寸，使得圖像中心的距離為0，角落像素的距離約為0.707，形成了FFT的歸一化正弦頻率表示。

徑向平均與擬合分析

算法的核心創(chuàng)新在于將二維頻域信息壓縮為一維徑向平均函數(shù)。通過(guò)確定每個(gè)距離區(qū)間的平均幅度，并將其繪制為距圖像中心距離的函數(shù)，算法實(shí)現(xiàn)了圖像信息的有效降維。這種徑向平均方法不僅簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù)處理復(fù)雜度，更為后續(xù)的數(shù)學(xué)擬合提供了理想的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

在擬合過(guò)程中，算法采用了改進(jìn)的策略來(lái)處理漢寧窗引入的低頻成分影響。由于漢寧窗會(huì)在圖像中添加低頻成分，可能影響接近零頻率處徑向分區(qū)幅度譜的斜率，算法提供了排除低頻和高于0.5頻率成分的選項(xiàng)，從而在特定情況下改善擬合效果并提供更可靠的FWHM（半峰全寬）估計(jì)。

算法實(shí)現(xiàn)與性能評(píng)估

SIRAF算法采用Python 3.7開(kāi)發(fā)，充分利用了OpenCV、NumPy和SciPy等成熟庫(kù)的功能。算法的輸入簡(jiǎn)潔明了，僅需單個(gè)圖像文件，輸出包括以像素為單位的σ和FWHM值，以及基于擬合參數(shù)協(xié)方差估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差誤差。在性能方面，算法表現(xiàn)出色，對(duì)800×800像素的SEM圖像處理時(shí)間僅約0.42秒，顯示了良好的計(jì)算效率。

為驗(yàn)證算法的有效性，研究者采用了多層次的驗(yàn)證策略。首先通過(guò)具有已知參數(shù)的模擬圖像驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性，隨后在真實(shí)SEM圖像上進(jìn)行測(cè)試。實(shí)驗(yàn)涵蓋了多種放大倍率（5k至100k倍）和相應(yīng)的像素分辨率（57.8至2.9 nm/像素），確保了算法在不同成像條件下的適用性。

應(yīng)用范圍與實(shí)用價(jià)值

SIRAF算法的應(yīng)用范圍極為廣泛，涵蓋了現(xiàn)代科學(xué)成像的主要技術(shù)類(lèi)型。算法在SEM中的STEM模式、二次電子和背散射電子成像、HAADF-STEM、TEM以及明暗場(chǎng)光學(xué)成像等多種成像方式上均表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性。測(cè)試樣品包括銀和金納米顆粒、聚苯乙烯乳膠珠、NaCl晶體、碳納米管等多種材料體系，充分驗(yàn)證了算法的通用性和魯棒性。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與圖像模擬

為了全面評(píng)估SIRAF算法的性能，研究采用了50張具有不同焦距的模擬圖像進(jìn)行初步測(cè)試。這些圖像采用標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置進(jìn)行模擬，生成的圖像類(lèi)似于碳基底上的金顆粒結(jié)構(gòu)，并以?huà)呙桦婄R（SEM）圖像的形式呈現(xiàn)明亮邊緣特征。值得注意的是，該測(cè)試將算法應(yīng)用范圍擴(kuò)展到假設(shè)模糊階躍函數(shù)的情況，這在一定程度上超出了算法的原始設(shè)計(jì)范圍。

在圖像模擬過(guò)程中，代碼設(shè)置基于用戶(hù)指定限制范圍內(nèi)的隨機(jī)值生成圖像。這種設(shè)計(jì)確保了測(cè)試圖像的多樣性，同時(shí)保持了實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性。雖然顆粒位置等參數(shù)會(huì)發(fā)生變化，但整體尺寸分布和強(qiáng)度分布在不同圖像間保持一致，從而避免了對(duì)算法結(jié)果的干擾。

不同模糊程度下的圖像特征分析

實(shí)驗(yàn)中，50張圖像使用標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置生成，通過(guò)改變高斯PSF的寬度來(lái)模擬不同的聚焦?fàn)顟B(tài)。寬度參數(shù)在50個(gè)步長(zhǎng)中從半高全寬（FWHM）的0像素變化到23.55像素，對(duì)應(yīng)的sigma值從0像素到10像素，步長(zhǎng)為0.2像素。

通過(guò)對(duì)三種典型情況的分析，可以清晰地觀(guān)察到模糊程度對(duì)圖像質(zhì)量的影響。當(dāng)FWHM為1.41像素時(shí)，圖像呈現(xiàn)出非常清晰的SEM圖像特征，所有物體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)均清晰可見(jiàn)，最小物體完全分辨，邊緣呈現(xiàn)近似階躍狀特征。當(dāng)FWHM增加到4.71像素時(shí)，圖像對(duì)應(yīng)輕微失焦?fàn)顟B(tài)，邊緣銳利度下降，較小物體在某些情況下會(huì)與其他物體模糊在一起。而當(dāng)FWHM達(dá)到23.55像素時(shí)，圖像呈現(xiàn)高度失焦?fàn)顟B(tài)，較小物體不再可辨，較大特征模糊融合，幾乎形成單一結(jié)構(gòu)。

圖2. (a–c)模擬的"標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置"圖像，分別經(jīng)過(guò)半峰全寬為1.41、4.71和23.55像素的高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)模糊處理。所有圖像均為800×800像素。(d)圖像(a–c)中每個(gè)距離區(qū)間的歸一化頻率與平均幅度的關(guān)系圖，以及SIRAF算法獲得的擬合結(jié)果。(e)所有50張模擬圖像的高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)已知半峰全寬與擬合值的對(duì)比。誤差線(xiàn)對(duì)應(yīng)于從擬合協(xié)方差矩陣確定的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差。圖中同時(shí)顯示了SMART算法的結(jié)果，其誤差線(xiàn)對(duì)應(yīng)于同一用戶(hù)連續(xù)三次運(yùn)行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

頻域分析與算法擬合性能

通過(guò)徑向平均幅度譜分析，研究進(jìn)一步驗(yàn)證了不同模糊程度圖像的頻域特征。聚焦圖像由于包含豐富的細(xì)節(jié)信息，在高頻和低頻快速傅里葉變換（FFT）分量中均攜帶重要信息，導(dǎo)致頻譜曲線(xiàn)呈現(xiàn)傾斜特征。相比之下，模糊圖像細(xì)節(jié)較少，其FFT主要由低頻分量的陡峭上升所控制。研究表明，方程(6)中的表達(dá)式能夠?yàn)樗腥N模糊情況產(chǎn)生合理的擬合結(jié)果，證明該表達(dá)式可以有效捕獲清晰和模糊圖像中的強(qiáng)度變化特征。

SIRAF算法性能驗(yàn)證

通過(guò)將50張模擬圖像的實(shí)際PSF FWHM與擬合值進(jìn)行對(duì)比分析，研究全面評(píng)估了SIRAF算法的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，SIRAF算法在大約1到20像素的范圍內(nèi)能夠?qū)?shí)際FWHM估計(jì)控制在半個(gè)像素的誤差范圍內(nèi)，顯示出良好的精度表現(xiàn)。當(dāng)FWHM大于20像素時(shí)，雖然算法誤差超過(guò)0.5像素，但相對(duì)誤差仍然保持在較低水平（小于5%）。

然而，當(dāng)接近像素分辨率（FWHM小于1像素）時(shí)，SIRAF算法的誤差增加到最大1.5像素。這一現(xiàn)象在基于FFT分析的分辨率方法中較為常見(jiàn)，主要原因是具有像素分辨率的圖像在其幅度譜的所有空間頻率中都包含信息，使得從信號(hào)到噪聲的轉(zhuǎn)換檢測(cè)變得困難。

算法比較與應(yīng)用前景

與SMART算法的對(duì)比分析顯示，兩種算法產(chǎn)生了非常相似的結(jié)果。然而，SIRAF算法具有自動(dòng)化程度高的優(yōu)勢(shì)，而SMART算法需要用戶(hù)對(duì)每張圖像進(jìn)行手動(dòng)操作，且存在用戶(hù)間變異的問(wèn)題。

SIRAF算法性能評(píng)估研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證SIRAF算法的魯棒性，對(duì)其在廣泛參數(shù)設(shè)置下的模擬圖像中進(jìn)行了深入測(cè)試。測(cè)試參數(shù)涵蓋泊松噪聲程度、像散效應(yīng)、振動(dòng)影響（包括振動(dòng)像素偏移的數(shù)量和幅度）、邊緣效應(yīng)的強(qiáng)度和寬度、顆粒間強(qiáng)度差異，以及顆粒數(shù)量、尺寸和內(nèi)部圖案等因素。所有圖像均采用"標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置"生成，每次僅變更單一參數(shù)和圖像模糊程度。

噪聲水平和像散的影響

分析結(jié)果表明，大多數(shù)參數(shù)對(duì)SIRAF算法的性能影響甚微，僅像散和噪聲水平對(duì)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。噪聲通過(guò)計(jì)算圖像的泊松噪聲并與原始圖像混合的方式引入，用戶(hù)可通過(guò)調(diào)節(jié)噪聲圖像相對(duì)于原始圖像的權(quán)重比來(lái)控制噪聲水平。需要注意的是，噪聲水平為10時(shí)已遠(yuǎn)超簡(jiǎn)單泊松噪聲范疇，更接近椒鹽噪聲特征。

圖3展示了噪聲對(duì)算法的影響以及不同噪聲設(shè)置下的三張模擬圖像。在無(wú)噪聲（0.0）情況下，歸一化頻率0.5處觀(guān)察到的信號(hào)下降源于微弱的吉布斯效應(yīng)。

圖3. (a–c)三幅分析圖像，F(xiàn)WHM為2.36像素，噪聲水平從左到右遞增。所有圖像均為800×800像素。(d)噪聲設(shè)置為0、0.4、2和10，F(xiàn)WHM為2.36像素的圖像的歸一化頻率與各距離區(qū)間的平均幅值的關(guān)系圖，以及使用SIRAF獲得的擬合結(jié)果。(e)高斯PSF擬合FWHM與實(shí)際FWHM之間的誤差與實(shí)際FWHM的關(guān)系圖，對(duì)應(yīng)圖(d)中的四次擬合結(jié)果。

當(dāng)FWHM低于10像素時(shí)，噪聲對(duì)算法結(jié)果產(chǎn)生明顯影響。在此條件下，盡管實(shí)際FWHM為2.355像素，擬合結(jié)果可高達(dá)5.4像素。然而，實(shí)際圖像很少出現(xiàn)如噪聲水平為10.0的模擬圖像般的低質(zhì)量情況，該設(shè)置下引入的噪聲已類(lèi)似椒鹽噪聲。在更為現(xiàn)實(shí)的噪聲水平范圍（0-2之間）下，算法能夠產(chǎn)生合理的結(jié)果。

結(jié)果顯示，算法在處理像散圖像時(shí)存在困難，這類(lèi)圖像在x和y方向上的模糊程度不等。因此，幅度譜中的圓形結(jié)構(gòu)會(huì)扭曲為橢球體，并可能根據(jù)像散方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)。SIRAF的當(dāng)前版本未考慮這種扭曲效應(yīng)，因此在使用SIRAF評(píng)估圖像分辨率時(shí)，確保像散程度可忽略至關(guān)重要。

SIRAF算法的另一個(gè)局限性在于處理具有重復(fù)圖案（如晶格條紋）的圖像。這類(lèi)圖案會(huì)在幅度譜中產(chǎn)生明確的亮點(diǎn)，干擾徑向分組過(guò)程。雖然可通過(guò)簡(jiǎn)單遮罩移除大部分亮點(diǎn)，但仍可能對(duì)分辨率估計(jì)精度產(chǎn)生輕微影響。作為替代方案，SIRAF提供手動(dòng)擬合選項(xiàng)，允許用戶(hù)手動(dòng)調(diào)整擬合參數(shù)，以應(yīng)對(duì)FFT中的衍射點(diǎn)等特殊情況。

真實(shí)的SEM圖像評(píng)估

為測(cè)試自動(dòng)聚焦應(yīng)用，在A(yíng)u/C樣品同一位置采集了不同焦點(diǎn)的SE圖像系列，失焦程度用相對(duì)工作距離（WD）表示。圖4顯示了三張不同焦點(diǎn)設(shè)置的圖像及相應(yīng)擬合結(jié)果。

圖4. (a–c)在不同聚焦設(shè)置下獲得的沉積在TEM載網(wǎng)上的金顆粒的SEM圖像。最清晰的圖像顯示在(a)中，從左到右離焦程度逐漸增加。(d)振幅相對(duì)于歸一化頻率的曲線(xiàn)圖，以及SIRAF的擬合結(jié)果。(e)每個(gè)獲得的SEM圖像的SMART算法(紅色)和SIRAF算法(藍(lán)色)擬合的半高全寬(FWHM)相對(duì)于離焦的曲線(xiàn)圖，離焦用相對(duì)于焦點(diǎn)的工作距離表示。SMART算法的誤差棒為同一用戶(hù)連續(xù)三次運(yùn)行的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

圖4a為最清晰圖像，可分辨幾十納米的小顆粒；隨失焦程度增加（WD下降36μm），圖4b中小顆粒不再可見(jiàn)，圖4c中連100nm的大顆粒也無(wú)法分辨。實(shí)際數(shù)據(jù)擬合效果不如合成數(shù)據(jù)，主要因?yàn)閿M合表達(dá)式過(guò)于簡(jiǎn)單，且假設(shè)模糊僅由高斯PSF引起。對(duì)于高度失焦圖像，艾里斑圖案顯示菲涅耳環(huán)，高斯函數(shù)無(wú)法解釋。盡管如此，所有圖像都產(chǎn)生了合理擬合（r2值0.95-0.98）。

圖4e顯示FWHM與WD呈V形關(guān)系，最清晰圖像位于最小值處，適用于自動(dòng)聚焦。SIRAF與SMART算法結(jié)果高度一致，差異通常小于單個(gè)像素，但SIRAF無(wú)需用戶(hù)輸入。

算法還在5k-100k倍率下測(cè)試（像素分辨率57.8-2.9 nm/像素）。結(jié)果顯示所有焦點(diǎn)序列均呈V形，隨倍率增加V形變窄。關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)是以nm為單位的FWHM在倍率超過(guò)25k時(shí)不再改善，表明出現(xiàn)空放大，算法可用于確定最佳倍率。

圖5.左圖：使用SIRAF獲得的以像素為單位的擬合FWHM值，針對(duì)在5k、10k、25k、50k和100k放大倍數(shù)下進(jìn)行的五個(gè)不同焦點(diǎn)序列，與相對(duì)工作距離的關(guān)系圖。右圖：與左圖相同的數(shù)據(jù)，但通過(guò)乘以像素分辨率將像素單位轉(zhuǎn)換為納米單位。

最后在多種顯微鏡技術(shù)（SE/BSE、STEM、HAADF-STEM、明場(chǎng)TEM、光學(xué)顯微鏡）上測(cè)試了算法通用性。測(cè)試樣品包括NaCl晶體、纖維、乳膠珠、納米管等沉積在不同基底上的顆粒。所有情況下均產(chǎn)生高質(zhì)量擬合，僅在具有晶格條紋的TEM圖像上失效，但這類(lèi)圖像易識(shí)別且可通過(guò)遮罩或手動(dòng)擬合處理。

結(jié)論

本文提出了基于FFT的SIRAF算法，通過(guò)將理論函數(shù)擬合到徑向平均FFT幅度譜來(lái)評(píng)估圖像空間分辨率。該算法基于強(qiáng)度躍遷可用被高斯PSF模糊的階躍函數(shù)描述這一假設(shè)，在碳基底金納米球的合成和真實(shí)SEM圖像上得到驗(yàn)證。

測(cè)試表明算法在大多數(shù)條件下能提供準(zhǔn)確的FWHM估計(jì)，但在極端噪聲、像散和重復(fù)模式下性能會(huì)下降。該算法可用于自動(dòng)聚焦和放大倍數(shù)優(yōu)化，并在多種顯微技術(shù)（包括SEM、STEM、TEM和光學(xué)顯微鏡）中表現(xiàn)出高質(zhì)量擬合效果。

總體而言，SIRAF算法具有通用性強(qiáng)、全自動(dòng)、無(wú)用戶(hù)偏差等特點(diǎn)，為電鏡圖像分辨率評(píng)估提供了重要工具。