困擾人類 159 年的最重要數(shù)學猜想被證明了？

剛剛公布的德國海德堡獲獎者論壇日程中，9 月 24 日著名數(shù)學家 Michael Atiyah 將會做一場關(guān)于 “證明黎曼猜想” 的報告。消息傳出，數(shù)學物理計算機各路豪杰，紛紛炸了鍋。

海德堡獲獎者論壇官網(wǎng)的日程顯示，該報告是在 9 月 24 日上午

網(wǎng)址：https://www.heidelberg-laureate-forum.org/event_2018/

瑞典籍澳大利亞數(shù)學家 Steve McCormick 在社交網(wǎng)絡上發(fā)布了這一消息，引起大量關(guān)注，小編在論壇官網(wǎng)證實的確有這樣一個日程。（論壇官網(wǎng)一直到今天下午才能訪問，可能是全球數(shù)學愛好者聽說消息紛紛趕來圍觀，服務器都被拖垮了）

翻譯一下摘要：“黎曼猜想是 1859 年提出的著名問題，至今懸而未決。我會基于馮諾依曼（1936）、希策布魯克（1954）和狄拉克（1928）的相關(guān)工作，給出一個使用全新方法的簡潔證明。”

德國海德堡獲獎者論壇（Heidelberg Laureate Forum）是一個由國際頂級獎項（圖靈獎、阿貝爾獎、林奈獎、菲爾茲獎）得主與青年學者交流的研討會，自 2013 年開始舉辦，頂尖學者每年齊聚一堂，相關(guān)討論在數(shù)學屆甚至整個科學界都受到廣泛關(guān)注。在這樣一個大場合，倒配得上公布黎曼猜想得證的消息。

黎曼猜想——最重要的數(shù)學猜想

早在 1737 年，大數(shù)學家歐拉就發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布問題與 Zeta 函數(shù)的聯(lián)系，給出并證明了歐拉乘積公式，使得 Zeta 函數(shù)成為研究質(zhì)數(shù)問題的經(jīng)典方法。

歐拉乘積公式，其中 p 為質(zhì)數(shù)，n 為自然數(shù)

黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大數(shù)學家黎曼在 1859 年首次提出，討論黎曼 Zeta 函數(shù)的非平凡解問題。

黎曼猜想是眾多尚未解決的最重要的數(shù)學問題之一，被克雷數(shù)學研究所列為待解決的七大千禧問題，懸賞百萬美金證明或者證偽。一百年前希爾伯特就曾被問過一個問題 “假定你能死而復生，你會做什么？”，他的回答是，“我會問黎曼猜想是否已經(jīng)解決”?？梢娎杪孪攵嗝次恕?/p>

伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）

集智俱樂部在今年 5 月，曾經(jīng)報道過研究者用晶體衍射實驗研究質(zhì)數(shù)分布問題的最新進展。質(zhì)數(shù)分布間隔的規(guī)模至今是未解之謎，而研究者發(fā)現(xiàn)，如果用質(zhì)數(shù)序列作為準晶體微粒的分布間隔，就可以在其光學衍射結(jié)果中發(fā)現(xiàn)出分形結(jié)構(gòu)。這為解開質(zhì)數(shù)之謎提供了新的靈感，但仍然不能直接證明黎曼猜想。

質(zhì)數(shù)分布、分形幾何、晶體衍射——竟然被一個小實驗聯(lián)系到一起

如何用 Mathematica 窺探質(zhì)數(shù)分布中隱藏的分形規(guī)律

Michael Atiyah 爵士是何許人也，竟然有這樣的野心？

數(shù)學最高獎獲得者，Michael Atiyah 爵士

Michael Atiyah（1924-）是當代著名數(shù)學家，主要研究領(lǐng)是幾何，他于 1966 年獲得 4 年頒發(fā)一次的數(shù)學界最高獎菲爾茲獎，而且在 1990-1995 年擔任英國皇家學會主席。

Michael Atiyah（1924-）

Atiyah 最重要的工作都是在上世紀六七十年代完成的。但作為一位年屆九旬的科學家，他仍然活躍在學術(shù)前沿，并時常有驚人之舉，2016 年他因為給出一個 “6 維球面上不存在復結(jié)構(gòu)” 的證明被質(zhì)疑而頗具爭議。

而黎曼猜想本身的確非常難，所以在 Michael Atiyah 證明黎曼猜想的消息公開之后，社交媒體上多數(shù)人仍在觀望，畢竟太多人都曾聲稱自己證明了黎曼猜想但之后卻被推翻，連大數(shù)學家哈代也犯過這種錯誤。

難以證明又無法推翻的黎曼猜想

回到黎曼猜想上。黎曼猜想是關(guān)于黎曼 Zeta 函數(shù)的零點分布的猜想。黎曼 Zeta 函數(shù)長這個樣子：

黎曼 Zeta 函數(shù)有兩種零點，一種是位于實數(shù)軸線上的零點，被稱為平凡零點，另一種是位于其他復平面區(qū)域上的零點，被稱為非平凡零點，目前數(shù)學家已經(jīng)證明這些非平凡零點全部位于實部區(qū)間為 0 到 1 的復平面內(nèi)，而黎曼則大膽猜想，這些非平凡零點全部位于實部為 1/2 的一條直線上。

“所有非平凡零點都位于實部為 1/2 的直線上” 是一個尚未得到嚴格證明的猜想，但數(shù)學家們至今找到的上萬億個非平凡零點的確都位于這條直線上，無一例外。

不止如此，黎曼猜想還跟冪律分布有關(guān)。

我們都知道冪律分布是指

其中 x 如果只能取 1,2,3,...,n 的整數(shù)，c 為歸一化常數(shù)，滿足：

而這里面的

就是 Zeta 函數(shù)，黎曼猜想就是關(guān)于這個函數(shù)的，但是 a 可以取復數(shù)值。

黎曼猜想真的會被證明嗎？

質(zhì)數(shù)分布沒有簡單規(guī)律，但質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率跟黎曼 Zeta 函數(shù)緊密相關(guān)。有數(shù)學家甚至認為黎曼猜想與強條件下的質(zhì)數(shù)定理是等價的。目前已經(jīng)驗證了前 1,500,000,000 個質(zhì)數(shù)對這個定理都成立，但至今沒有完全證明。黎曼猜想得證，對質(zhì)數(shù)研究、數(shù)論研究意義重大。

黎曼猜想對許多數(shù)學領(lǐng)域都意義重大，質(zhì)數(shù)分布只是其中一個。有上千個數(shù)學命題都建立在黎曼猜想為真的基礎(chǔ)上。多數(shù)數(shù)學家認為這個猜想是正確的，如果黎曼猜想被證偽，數(shù)學體系將失去重要根基。

作為菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主，Michael Atiyah 爵士已經(jīng)功成名就，而且培養(yǎng)出許多優(yōu)秀的年輕學者。如果真的證明了黎曼猜想，那 Michael Atiyah 就會登頂最偉大數(shù)學家的行列中。

真相如何？9 月 24 日見分曉！