單精度是什么意思

單精度數(shù)是指計(jì)算機(jī)表達(dá)實(shí)數(shù)近似值的一種方式。VB中Single（單精度浮點(diǎn)型）變量存儲(chǔ)為 IEEE 32 位（4 個(gè)字節(jié)）浮點(diǎn)數(shù)值的形式，它的范圍在負(fù)數(shù)的時(shí)候是從 -3.402823E38 到 -1.401298E-45，而在正數(shù)的時(shí)候是從 1.401298E-45 到 3.402823E38 。

雙精度是什么意思

在計(jì)算機(jī)里實(shí)數(shù)中的浮點(diǎn)數(shù)是以科學(xué)計(jì)數(shù)法存儲(chǔ)，所以在存儲(chǔ)和讀取的時(shí)候需要考慮精度的問題，但是，由于數(shù)據(jù)的使用需要，也會(huì)有不同精度的需要，例如存儲(chǔ)身高信息和存儲(chǔ)衛(wèi)星的飛行信息要求的精度必要是不一樣的，再者，考慮存儲(chǔ)信息的效率問題，同樣大小的存儲(chǔ)介質(zhì)存儲(chǔ)高精度的信息必然比低精度的信息要多，為了平衡，所有就有單精度f(wàn)loat和雙精度double，同樣是61.1126537這個(gè)數(shù)，經(jīng)過計(jì)算機(jī)處理后用float存儲(chǔ)和賭博了存儲(chǔ)是不一樣的。

浮點(diǎn)數(shù)的表示和精度

如果a》0，那么1+a一定大于1嗎？在數(shù)學(xué)上，答案是肯定的。但在計(jì)算機(jī)上，答案就與a的大小和浮點(diǎn)數(shù)的精度有關(guān)了。在matalb上，可以作以下計(jì)算：

》》 a=1/2^52

a =

2.220446049250313e-016

》》 1+a》1

ans =

1

》》 a=1/2^53

a =

1.110223024625157e-016

》》 1+a》1

ans =

0

可見，當(dāng)a等于1/2^53時(shí)，1+a》1是不成立的。

1 浮點(diǎn)數(shù)

IEEE754定義了單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度數(shù)浮點(diǎn)數(shù)，即float和double。float有32bit，double有64bit。它們都包括符號(hào)位、指數(shù)和尾數(shù)。

符號(hào)位有1bit，0表示正、1表示負(fù)。設(shè)一個(gè)數(shù)的指數(shù)是e，指數(shù)部分的值是bias+e。加上一個(gè)bias是為了表示負(fù)數(shù)。 float的bias是127，double的bias是1023。指數(shù)全0或全1有特殊含義，不算正常指數(shù)。

float的指數(shù)部分有8bit，可以取值1~254，減掉127，得到對(duì)應(yīng)的指數(shù)范圍-126~127。

double的指數(shù)部分有11位，可以取值1~2046，減掉1023，得到對(duì)應(yīng)的指數(shù)范圍-1022~1023。

這里的指數(shù)是以2為底的，同樣尾數(shù)也是二進(jìn)制的。IEEE754要求浮點(diǎn)數(shù)以規(guī)范形式存儲(chǔ)，即小數(shù)點(diǎn)前有1位非零數(shù)字。 對(duì)于二進(jìn)制數(shù)，非零數(shù)字只有1。所以IEEE754在存儲(chǔ)時(shí)省略了這個(gè)小數(shù)點(diǎn)前面的1，只存儲(chǔ)小數(shù)點(diǎn)后面的位。

2 誤差

看個(gè)例子，設(shè)：

double a=0.2;

在PC上，我們可以看到a對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)區(qū)數(shù)據(jù)是：

9A 99 99 99 99 99 C9 3F

PC的數(shù)據(jù)是小尾的，即低位字節(jié)在后，將其寫成高位字節(jié)在前，得到：

3F C9 99 99 99 99 99 9A

可見符號(hào)位為0。指數(shù)位是0x3FC，即1020，減掉1023，得到指數(shù)-3。尾數(shù)是999999999999A。所以完整的數(shù)字就是16進(jìn)制的1.999999999999A乘上2^-3。即：

a=（1+9*（1/16+1/16^2+.。.+1/16^12）+10/16^13）*2^-3

（1/16+.。.+1/16^12）可以用等比級(jí)數(shù)求和公式a1*（1-q^n）/（1-q）計(jì)算，其中a1=1/16，q=1/16，n=12，因此：

a=（1+9*（1-1/16^12）/15+10/16^13）*2^-3

用windows的計(jì)算器計(jì)算上式，得到

a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157

這也不是精確解，但已經(jīng)可以看到用double表示0.2時(shí)存在的誤差。這個(gè)例子說明在用有限字長(zhǎng)的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示任意實(shí)數(shù)a可能引入誤差。 設(shè)實(shí)數(shù)a的指數(shù)為e，尾數(shù)位數(shù)為n，顯然：

誤差《（1/2^n）*2^e

3 精度

可以把機(jī)器精度定義為滿足條件

fl（1+ε）》1

的最小浮點(diǎn)數(shù)ε。其中fl（1+ε）是1+ε的浮點(diǎn)表示。顯然double的機(jī)器精度是1/2^52。float的機(jī)器精度是1/2^23。 matlab內(nèi)部采用double，1+1/2^53對(duì)double來說就是1，所以1+1/2^53不會(huì)大于1。

對(duì)于規(guī)范數(shù)來說，因?yàn)樾?shù)點(diǎn)前默認(rèn)有個(gè)1，所以float的有效數(shù)字是24bit，對(duì)應(yīng)8位十進(jìn)制有效數(shù)字； double的有效數(shù)字是53bit，對(duì)應(yīng)16位十進(jìn)制有效數(shù)字。

4 特殊的浮點(diǎn)數(shù)

前面提到浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)全0或全1有特殊含義，讓我們來看看這些特殊的浮點(diǎn)數(shù)：

指數(shù)和尾數(shù)都是全0表示0。根據(jù)符號(hào)位不同可以分為+0和-0。

指數(shù)全0，尾數(shù)不為全0，這些數(shù)是非規(guī)范數(shù)，即尾數(shù)部分不假設(shè)前面存在小數(shù)點(diǎn)前的1。 或者說這些數(shù)太接近0了，因?yàn)橹笖?shù)已經(jīng)不能再小，所以這些數(shù)不能寫成規(guī)范形式。 例如：double數(shù)0000 0000 0000 0001的尾數(shù)是0 0000 0000 0001，即1/2^52，對(duì)應(yīng)的數(shù)是1/（2^52）*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。

指數(shù)全1，尾數(shù)全0表示無(wú)窮大，即inf。根據(jù)符號(hào)位不同可以分為+inf和-inf。

指數(shù)全1，尾數(shù)不為全0表示NaN，即Not a Number，不是數(shù)。尾數(shù)最高位為1的NaN被稱作QNaN（Quiet NaN）。 尾數(shù)最高位為0的NaN被稱作SNaN（Signalling NaN）。通常用QNaN表示不確定的操作，用SNaN表示無(wú)效的操作。

在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，double就是一個(gè)64位數(shù)。從0x0000 0000 0000 0000~0xFFFF FFFF FFFF FFFF，每個(gè)64位數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)或NaN。 我寫了一個(gè)小程序，按照64位無(wú)符號(hào)整數(shù)的順序打印出典型的浮點(diǎn)數(shù)。 表格的第一列是浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)部表示。為了便于閱讀，按大尾順序輸出。第二列是對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)。 第三列是注釋，對(duì)于非規(guī)范數(shù)和規(guī)范數(shù)給出了由內(nèi)部表示計(jì)算數(shù)值的matlab算式。 注意在C/C++中，2^52要寫成pow（2.0，52.0）。

從表中可以看到，double內(nèi)部表示的設(shè)計(jì)是很有規(guī)律的，按照對(duì)應(yīng)64位數(shù)的順序依次為 +0、正非規(guī)范數(shù)、正規(guī)范數(shù)、正無(wú)窮大、符號(hào)位為正的NaN、-0、負(fù)非規(guī)范數(shù)、負(fù)規(guī)范數(shù)、負(fù)無(wú)窮大、符號(hào)位為負(fù)的NaN。

double內(nèi)部表示的設(shè)計(jì)保持了浮點(diǎn)數(shù)的有序性。即：如果正double數(shù)a《正double數(shù)b，則a對(duì)應(yīng)的64位無(wú)符號(hào)整數(shù)《b對(duì)應(yīng)的64位無(wú)符號(hào)整數(shù)。 負(fù)數(shù)因?yàn)椴盍藗€(gè)符號(hào)，所以浮點(diǎn)數(shù)與對(duì)應(yīng)整數(shù)的順序相反。 float也有類似的規(guī)律。

float和int都是32bit，但float的尾數(shù)只用了23bit。int的精度高于float，float的表示范圍大于int。float犧牲精度換取了更大的表示范圍。 double的尾數(shù)是52bit，高于32bit的int，所以用dobule表示int不會(huì)有精度損失。 double是科學(xué)計(jì)算的常用類型，了解double的內(nèi)在和限制，有助于我們更好地使用它。