信號(hào)的對(duì)稱性如何簡(jiǎn)化計(jì)算傅里葉系數(shù)

了解信號(hào)的對(duì)稱性如何可以簡(jiǎn)化計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)，用來找到電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

求一個(gè)波形的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)往往涉及一些相對(duì)繁瑣的計(jì)算。只有通過目視檢查波形，不執(zhí)行一個(gè)單一的計(jì)算，有時(shí)是可能的，以確定哪些系數(shù)將工作到零。當(dāng)波形具有某種類型的對(duì)稱性時(shí)，就可以做到這一點(diǎn)。請(qǐng)繼續(xù)閱讀，了解這些對(duì)稱性，以及如何使用它們來簡(jiǎn)化傅里葉系數(shù)的計(jì)算。

理解傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)

下面的方程可以用來表示一個(gè)周期信號(hào) f (t) ，周期 T 用它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)表示:

其中 a0，an 和 bn 是信號(hào)的傅里葉系數(shù) ω

表示周期信號(hào)的基頻。頻率 nω0被稱為波形的 n 次諧波。

這些系數(shù)可用下列公式計(jì)算:

等式1

方程式2

方程式3

讓我們看看不同類型的對(duì)稱是如何簡(jiǎn)化上述系數(shù)的計(jì)算的。

偶函數(shù)對(duì)稱性

圖1顯示了一個(gè)周期 T 波形的例子，它甚至具有對(duì)稱性。

圖1。一個(gè)周期為 T 的對(duì)稱波形的例子

偶函數(shù)的圖形是關(guān)于垂直軸(y 軸)對(duì)稱的。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，f (t)是即使它滿足以下條件:

F (- t) = f (t)

偶數(shù)函數(shù)的一個(gè)熟悉的例子是 f (t) = cos (t) ，因?yàn)樗鼮榻o定 t 的正值和負(fù)值產(chǎn)生相同的值。圖2繪制了 f2(t) = cos (2πt)。

圖2. f2(t) = cos (2πt)的函數(shù)圖示例

另一個(gè)偶數(shù)信號(hào)如圖3所示。

圖3。偶數(shù)信號(hào)的一個(gè)例子

雖然圖1和圖3中的 f1(t)和 f3(t)具有偶對(duì)稱性，但我們將很快討論 f3(t)具有其他對(duì)稱性水平，即半波對(duì)稱性和四分之一波對(duì)稱性?，F(xiàn)在，只需要注意 f3(t)在其周期的后半部分，比如 T/2到 T 間隔，等于信號(hào)在前半周期(0到 T/2間隔)中的負(fù)值。

奇函數(shù)對(duì)稱性

具有奇對(duì)稱性的函數(shù)示例如圖4所示。

圖4。一個(gè)奇對(duì)稱的函數(shù)示例

奇函數(shù)的圖是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖。如果 f (t)是一個(gè)奇函數(shù)，它滿足以下條件:

F (- t) =-f (t)

與余弦不同，正弦函數(shù)是一個(gè)奇數(shù)函數(shù)。圖5顯示了 f (t) = sin (2πt)的曲線。

圖5. f (t) = sin (2πt)的示例圖形圖函數(shù)

另一個(gè)示例如圖6所示。

圖6. 同一繪圖的另一個(gè)圖形示例

圖4和圖6所示的 f4(t)和 f5(t)都具有奇對(duì)稱性，而 f5(t)也具有半波對(duì)稱性和四分之一波對(duì)稱性。請(qǐng)注意，f5(t)在其周期的后半段產(chǎn)生的值，比如 T/2到 T 間隔，等于信號(hào)在前半個(gè)周期(0到 T/2間隔)中獲得的值的負(fù)值。

在討論這些對(duì)稱性對(duì)傅里葉系數(shù)的影響之前，讓我們先看看計(jì)算信號(hào)的積分是如何受到偶對(duì)稱性和奇對(duì)稱性的影響的。

奇偶信號(hào)的積分

考慮在從-a 到 + a 的對(duì)稱區(qū)間上積分偶數(shù)函數(shù) f (t)。我們可以把這個(gè)積分寫成從-a 到0和0到 + a 的兩個(gè)積分之和，如下所示:

方程式4

之前，我們看到偶數(shù)函數(shù)是對(duì)稱于 y 軸的。由于這種對(duì)稱性，f (t)在-a 到0的區(qū)間下的面積與0到 + a 的區(qū)間下的面積相同。

因此，上述積分可重寫為:

等式5

另一方面，如果我們假設(shè) f (t)具有奇對(duì)稱性，那么方程4中的積分就是零，因?yàn)?a 到0的區(qū)間的面積是0到 + a 區(qū)間的面積的負(fù)數(shù)。這意味著假設(shè)奇對(duì)稱，我們得到:

偶對(duì)稱性對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的影響

如果 f (t)具有偶對(duì)稱性，我們可以將方程1簡(jiǎn)化如下:

此外，如果 f (t)是偶數(shù)，可以很容易地驗(yàn)證 f (t) cos (nω0t)和 f (t) sin (nω0t)分別具有偶對(duì)稱和奇對(duì)稱。所以,

還有,

因此，對(duì)于偶數(shù)信號(hào)，所有的 bn 系數(shù)都為零。

奇對(duì)稱性對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的影響

如果 f (t)具有奇對(duì)稱性，則 f (t) cos (nω0t)和 f (t) sin (nω0t)分別具有奇對(duì)稱性和偶對(duì)稱性。

因此，方程式1至3簡(jiǎn)化為:

因此，對(duì)于奇數(shù)信號(hào)，所有的系數(shù)都為零。

半波對(duì)稱性

在具有半波對(duì)稱性的信號(hào)中，每個(gè)周期可分為兩個(gè)半周期，其中兩個(gè)半周期的形狀完全相同，但相互顛倒。換句話說，第二個(gè)半周期與第一個(gè)半周期相同，是圍繞水平軸(時(shí)間軸)倒轉(zhuǎn)的。具有半波對(duì)稱性的波形示例如圖7所示。

圖7。一個(gè)半波對(duì)稱波形的例子

在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，這一特征可以用以下條件來描述:

方程式6

這意味著如果我們將信號(hào)沿著時(shí)間軸移動(dòng) T/2并反轉(zhuǎn)，我們將獲得原始信號(hào)。

考慮到這一點(diǎn)，半波對(duì)稱性將如何影響信號(hào)的傅里葉系數(shù)？

具有半波對(duì)稱性的信號(hào)由相同的半周期和相反的極性組成。由于這種交替特征，我們可以得出結(jié)論，信號(hào)的平均值為零。所以半波對(duì)稱消除了 a0系數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的平均值。然而，計(jì)算其他系數(shù)有點(diǎn)復(fù)雜。

對(duì)于 a，我們從方程2開始，把積分分成兩個(gè)區(qū)間:

方程式7

現(xiàn)在，我們嘗試用第二個(gè)積分來重寫第一個(gè)積分，這樣就可以考慮 f (t)的半波對(duì)稱性。

我們可以定義一個(gè)新變量如下:

對(duì)于 t =-T/2和 t = 0，新的變量分別是 τ = 0和 τ = T/2。還注意到 dt = dτ，第一個(gè)積分可以重寫為:

等式8

余弦項(xiàng)可簡(jiǎn)化如下:

方程式9

應(yīng)用半波對(duì)稱性(方程6)和取代方程9，我們可以把方程8表示為:

方程式10

對(duì)于奇數(shù) n，上面的積分等于方程7中的第二個(gè)積分。然而，對(duì)于偶數(shù) n，上面的積分等于該積分的負(fù)數(shù)。因此，對(duì)于具有半波對(duì)稱性的信號(hào)，對(duì)于 n 的偶數(shù)值，系數(shù)為零。對(duì)于 n 的奇數(shù)值，我們有:

等式11

等式12

四分之一波對(duì)稱性

當(dāng)一個(gè)周期波形同時(shí)具有半波對(duì)稱性和偶/奇對(duì)稱性時(shí)，我們稱之為四分之一波對(duì)稱性。例如，圖3中的波形既具有半波對(duì)稱性，又具有均勻?qū)ΨQ性。另一方面，圖6中的波形是一個(gè)具有半波對(duì)稱性的奇異信號(hào)。因此，這兩個(gè)信號(hào)被稱為具有四分之一波的對(duì)稱性。

對(duì)于具有半波對(duì)稱性的偶數(shù)信號(hào)，由于偶數(shù)對(duì)稱性，所有 n 的 bn 系數(shù)都為零。此外，半波對(duì)稱性使 a0和偶數(shù) n 的 an 系數(shù)消失。因此，對(duì)于具有半波對(duì)稱性的偶數(shù)信號(hào)，只有奇數(shù) n 的系數(shù)可以是非零的。這些系數(shù)可以通過應(yīng)用方程11找到，為方便起見，重復(fù)如下:

利用四分之一波對(duì)稱性，信號(hào)在正負(fù)半周期的中點(diǎn)附近表現(xiàn)出對(duì)稱性。因此，上述積分可簡(jiǎn)化為:

類似地，如果一個(gè)函數(shù)是奇數(shù)且具有半波對(duì)稱性，則由于奇對(duì)稱性，該函數(shù)的系數(shù)為零。同樣，a0是零，因?yàn)榘氩ㄐ盘?hào)的平均值為零。由于信號(hào)的半波對(duì)稱性，只有奇數(shù) n 的 bn 系數(shù)可以是非零的。對(duì)于單數(shù) n，bn 由: