分?jǐn)?shù)微積分理論是數(shù)學(xué)分析的一個新的分支，專門研究函數(shù)的任意階微分和積分的非標(biāo)準(zhǔn)的算子理論及其應(yīng)用.盡管分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念在十七世紀(jì)就已經(jīng)出現(xiàn)，但過去的在近三個世紀(jì)里，由于缺乏具體的應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學(xué)的純理論領(lǐng)域里進行，似乎只有數(shù)學(xué)家們對它有興趣，因此進展緩慢.然而在近幾十年里，許多學(xué)者發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程，而在經(jīng)典模型中這些性質(zhì)常常是被忽略的。如今，分?jǐn)?shù)階微分方程越來越多的被用來描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)辨識、控制和機器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問題.因此，分?jǐn)?shù)階微積分以及分?jǐn)?shù)階微分方程的研究有著十分重要的理論意義和實際的應(yīng)用價值，分?jǐn)?shù)階微分方程已成為一個研究熱點.本文的主要工作包括以下四個部分.第一章緒論中，主要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程的發(fā)展歷史以及研究背景，簡要介紹了幾類分?jǐn)?shù)階微分方程關(guān)于初值問題解的存在性與唯一性方面的一些重要結(jié)果.第二章是預(yù)備知識，主要介紹了分?jǐn)?shù)階積分與導(dǎo)數(shù)的基本概念和一些性質(zhì)及有關(guān)相空間，扇形算子、非緊測度理論的一些基礎(chǔ)知識和相應(yīng)的定理。第三章，利用扇形算子分?jǐn)?shù)冪理論、非緊測度理論及相關(guān)的不動點定理，給出了Banach空間中一類半線性無窮時滯分?jǐn)?shù)階積分微分方程，在無需假設(shè)相關(guān)預(yù)解算子的緊性等條件下mild解存在的幾個充分條件.第四章，研究Banach空間中一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題.利用Green函數(shù)、非緊測度和相關(guān)的不動點定理，得到此類方程mild解存在的幾個充分條件。文中所得結(jié)果改進和推廣了一些已有的結(jié)論.