變截面梁的同倫法分析
Theme：Variable cross-section beam of Homotopy Analysis Method
本文在已有的梁振動(dòng)的基本方程基礎(chǔ)之上，建立了梁的截面按一維線性方式
變化的模型，并推導(dǎo)出了其自由振動(dòng)方程，并對(duì)該振動(dòng)方程做了一個(gè)比較全面的探索性求解。首先，對(duì)該方程傳統(tǒng)的冪級(jí)數(shù)解作了一個(gè)探求，只得出了一個(gè)零解。其次，運(yùn)用同倫分析法對(duì)其一，二階頻率和一，二階模態(tài)進(jìn)行了求解。得出了其頻率的近似解和模態(tài)的近似解析解。并將得到的結(jié)果退化到等截面情形，與已有的精確解作了比較，得到了比較滿意的效果。在基本方程建立后，借助于計(jì)算機(jī)工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件MATLAB 行具體的運(yùn)算。同時(shí)，也展示了同倫分析法在求解常微分時(shí)的有效性與靈活性，特別是在傳統(tǒng)方法失效時(shí)，同倫分析法更是顯示出了它獨(dú)特的價(jià)值。
關(guān)鍵詞：振動(dòng) 頻率 模態(tài) 同倫分析法 有效性 靈活性
1 前 言6
1.1 畢業(yè)論文的背景、意義..6
1.1.1 關(guān)于振動(dòng)..6
1.1.2 振動(dòng)在工程中的應(yīng)用..6
1.2 畢業(yè)論文所做的工作.7
2 問(wèn)題的描述.9
2.1 基本控制方程.9
2.2 本文模型的建立.9
2.3 分離變量..10
2.4 邊界條件..11
3 傳統(tǒng)方法—多項(xiàng)式冪級(jí)數(shù)解12
3.1 多項(xiàng)式冪級(jí)數(shù)解..12
3.1.1 零解12
3.1.2 取前20 階近似解.12
3.1.3 前15 階近似解.13
3.2 討論...15
3.3 總結(jié)...15
4 同倫分析方法求解頻率. 16
4.1 基本定義.16
4.1.1 引進(jìn)嵌入變量16
4.1.2 輔助線性算子.16
4.1.3 輔助算子.16
4.2 由同倫分析法構(gòu)造零階變形方程..16
4.3 由零階變形方程推導(dǎo)高階變形方程..17
5 同倫分析方法求解模態(tài)...25
5.1 基本定義...25
變截面梁的同倫法分析
5
5.2 由同倫分析法構(gòu)造零階變形方程...25
5.3 由零階變形方程推導(dǎo)高階變形方程...26
6 算 例.29
6.2 初始猜測(cè)解...29
6.3 具體結(jié)果...32
6.4 討論...39
7 總結(jié)與展望..42
7.1 總結(jié)..42
7.2 展望42
致謝...43
附錄...44