學(xué)習(xí)傅里葉變換需要面對(duì)大量的數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)功底較差的同學(xué)聽到傅里葉變換就頭疼。事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)功底好的數(shù)字信號(hào)處理專業(yè)的同學(xué)也不一定理解傅里葉變換的真實(shí)含義，不能做到學(xué)以致用!

事實(shí)上，傅里葉變換的相關(guān)運(yùn)算已經(jīng)非常成熟，有現(xiàn)成函數(shù)可以調(diào)用。對(duì)于絕大部分只需用好傅里葉變換的同學(xué)，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

本文試圖不用一個(gè)數(shù)學(xué)公式，采用較為通俗的語言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

偉大的傅里葉、偉大的爭議

1807年，39歲的法國數(shù)學(xué)家傅里葉于法國科學(xué)學(xué)會(huì)上展示了一篇論文(此時(shí)不能算發(fā)表，該論文要到21年之后發(fā)表)，論文中有個(gè)在當(dāng)時(shí)極具爭議的論斷：“任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成”。

這篇論文，引起了法國另外兩位著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯和拉格朗日的極度關(guān)注!

58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀點(diǎn)。

71歲的拉格朗日(貌似現(xiàn)在的院士，不用退休)則反對(duì)，反對(duì)的理由是“正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)” 。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世后的第15年才得以發(fā)表。

之后的科學(xué)家證明：傅里葉和拉格朗日都是對(duì)的!

有限數(shù)量的正弦曲線的確無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)，然而，無限數(shù)量的正弦曲線的組合從能量的角度可以非常無限逼近帶有棱角的信號(hào)。

傅里葉變換的定義

后人將傅里葉的論斷進(jìn)行了擴(kuò)展：滿足一定條件的函數(shù)可以表示成三角函數(shù)(正弦和/或余弦函數(shù))或者它們的積分的線性組合。如何得到這個(gè)線性組合呢?這就需要傅里葉變換。
一定條件是什么呢?

這是數(shù)學(xué)家研究的問題，對(duì)于大多數(shù)搞電參量測(cè)量的工程師而言，不必關(guān)注這個(gè)問題，因?yàn)椋妳⒘繙y(cè)量中遇到的周期信號(hào)，都滿足這個(gè)條件。

這樣，在電參量測(cè)量分析中，我們可以用更通俗的話來描述傅里葉變換。

任意周期信號(hào)可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

并且，這些正弦波的頻率符合一個(gè)規(guī)律：是某個(gè)頻率的整數(shù)倍。這個(gè)頻率，就稱為基波頻率，而其它頻率稱為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱零次諧波。

傅里葉變換的意義

1、為什么要進(jìn)行傅里葉變換呢?

傅里葉變換是描述信號(hào)的需要。

只要能反映信號(hào)的特征，描述方法越簡單越好!

信號(hào)特征可以用特征值進(jìn)行量化。

所謂特征值，是指可以定量描述一個(gè)波形的某種特征的數(shù)值。全面描述一個(gè)波形，可能需要多個(gè)特征值。
比如說：正弦波可以用幅值和頻率兩個(gè)特征值全面描述;方波可以用幅值、頻率和占空比三個(gè)特征值全面描述(單個(gè)周期信號(hào)不考慮相位)。

上述特征值，我們可以通過示波器觀測(cè)實(shí)時(shí)波形獲取，稱為時(shí)域分析法。事實(shí)上，許多人都習(xí)慣于時(shí)域分析法，想要了解一個(gè)信號(hào)時(shí)，一定會(huì)說：“讓我看看波形!”

可是，除了一些常見的規(guī)則信號(hào)，許多時(shí)候，給你波形看，你也看不明白!

復(fù)雜的不講，看看下面這個(gè)波形，能看出道道嗎?

我們能看到的僅僅是一個(gè)類似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規(guī)律變化。

如何記載這個(gè)波形的信息呢?尤其是量化的記載!

很難!

事實(shí)上，上述波形采用傅里葉變換后，就是一個(gè)50Hz的正弦波上疊加一個(gè)40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動(dòng)幅度就越大，而波動(dòng)的頻率就是兩者的差頻10Hz(三相異步電動(dòng)機(jī)疊頻溫升試驗(yàn)時(shí)的電流波形)。

再看一個(gè)看似簡單的波形：

這個(gè)波形有點(diǎn)像正弦波，但是，比正弦波尖，俗稱“尖頂波”，多見于變壓器空載電流輸入波形。

我們很難準(zhǔn)確定量其與正弦波的區(qū)別。

采用傅里葉變換后，得到下述頻譜(幅值譜)：

主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然!

傅里葉變換是一種信號(hào)分析方法，讓我們對(duì)信號(hào)的構(gòu)成和特點(diǎn)進(jìn)行深入的、定量的研究。把信號(hào)通過頻譜的方式(包括幅值譜、相位譜和功率譜)進(jìn)行準(zhǔn)確的、定量的描述。

這就是傅里葉變換的主要目的。

現(xiàn)在，我們知道傅里葉變換的目的了， 剩下的問題是：

2、為什么傅里葉變換要把信號(hào)分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波?

其實(shí)，如果張三能夠證明， 任意信號(hào)可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱為張三變換;李四能夠證明，任意信號(hào)可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱為李四變換。

傅里葉變換是一種信號(hào)分析的方法。既然是分析方法，其目的應(yīng)該是把問題變得更簡單，而不是變得更復(fù)雜。傅里葉選擇了正弦波，沒有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處!

正弦波有個(gè)其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具備的特點(diǎn)：正弦波輸入至任何線性系統(tǒng)，出來的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線性系統(tǒng)，不會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分(非線性系統(tǒng)如變頻器，就會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分，稱為諧波)。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線性系統(tǒng)，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關(guān)系，就得到該系統(tǒng)的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關(guān)系，就得到該系統(tǒng)的相頻特性。

線性系統(tǒng)是自動(dòng)控制研究的主要對(duì)象，線性系統(tǒng)具備一個(gè)特點(diǎn)，多個(gè)正弦波疊加后輸入至一個(gè)系統(tǒng)，輸出是所有正弦波獨(dú)立輸入時(shí)對(duì)應(yīng)輸出的疊加。

也就是說，我們只要研究正弦波的輸入輸出關(guān)系，就可以知道該系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)。

這就是傅里葉變換的最主要的意義!

如何求傅里葉變換？

文章開始就說了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數(shù)可供調(diào)用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。如果你掌握了這個(gè)思想，不用再記公式，也不用去調(diào)用什么函數(shù)，自己編個(gè)簡單程序就可實(shí)現(xiàn)。就算你不會(huì)編程，只要你學(xué)過三角函數(shù)，至少可以理解傅里葉變換的過程。

傅里葉的偉大之處不在于如何進(jìn)行傅里葉變換，而是在于給出了“任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成”這一偉大的論斷。

知道了這一論斷，只要知道正弦函數(shù)的基本特性，變換并不難，不要記公式，你也能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換!

正弦函數(shù)有一個(gè)特點(diǎn)，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個(gè)不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內(nèi)的積分等于零。

這是一個(gè)非常有用的特性，我們可以利用這個(gè)特性設(shè)計(jì)一個(gè)如下的檢波器(下稱檢波器A)：

檢波器A由一個(gè)乘法器和一個(gè)積分器構(gòu)成，乘法器的一個(gè)輸入為已知頻率f的單位幅值正弦波(下稱標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f)，另一個(gè)輸入為待變換的信號(hào)。檢波器A的輸出只與待變換信號(hào)中的頻率為f的正弦分量的幅值和相位有關(guān)。

待變換信號(hào)可能包含頻率為f的分量(下稱f分量)，也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話，待變換信號(hào)是未知的，并且可能很復(fù)雜!

沒關(guān)系，我們先看看，待變換信號(hào)是否包含f分量。

因?yàn)槠渌l率分量與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的乘積的積分都等于零，檢波器A可以當(dāng)它們不存在!經(jīng)過檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關(guān)的一個(gè)量，這個(gè)量等于待變換信號(hào)中f分量與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的乘積的積分。

很容易得到的結(jié)論是：

如果輸出不等于零，就說明輸入信號(hào)包含f分量!

這個(gè)輸出是否就是f分量呢?

答案：不一定!

正弦波還有下述的特性：

相同頻率的正弦波，當(dāng)相位差為90°時(shí)(正交)，在一個(gè)周期內(nèi)的乘積的積分值等于零;當(dāng)相位相同時(shí)，積分值達(dá)到最大，等于兩者的有效值的乘積，當(dāng)相位相反時(shí)，積分值達(dá)到最小，等于兩者的有效值的乘積取反。

我們知道標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位!如果f分量與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的相位剛好差90°(或270°)，檢波器A輸出也等于零!為此，我們?cè)僭O(shè)計(jì)一個(gè)檢波器B：

檢波器B與檢波器A的不同之處在于檢波器B用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)f(與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)A相位差90°)替代濾波器A中的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f。如果待變換信號(hào)中包含f分量，檢波器A和檢波器B至少有一個(gè)輸出不等于零。

利用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)可以證明，不論f分量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號(hào)的幅值的方和根就等于f分量的幅值;而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。

我們?cè)侔褬?biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f和標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)f的頻率替換成我們關(guān)心的任意頻率，就可以得到輸入信號(hào)的各種頻率成分。如果知道輸入信號(hào)的頻率，把這個(gè)頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f和標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)f的頻率，就可以得到輸入信號(hào)的基波、2次諧波和3次諧波。

這就是傅里葉變換!

什么?不會(huì)積分?

沒有關(guān)系，實(shí)際上，在諧波檢測(cè)儀、電能質(zhì)量分析儀等各類電參量測(cè)量儀器中，現(xiàn)在用的都是基于交流采樣的離散傅里葉變換，在離散信號(hào)處理中，累加就是積分!

傅里葉變換就是這么簡單，您學(xué)會(huì)了嗎?

審核編輯 ：李倩