傅里葉變換十大公式 傅里葉變換的十大性質(zhì)

傅里葉變換是一種重要的數(shù)學(xué)工具，在許多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。傅里葉變換可以將一個(gè)時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)化為頻域信號(hào)，分析不同頻率成分在信號(hào)中的占比情況。由于傅里葉變換具有很多有用的性質(zhì)，因此在信號(hào)處理、通信和控制等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。下面就來介紹傅里葉變換的十大公式和性質(zhì)。

一、傅里葉正變換

一般形式：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

其中，$f(t)$為時(shí)域信號(hào)，$F(\omega)$為傅里葉變換后的頻域信號(hào)。

二、傅里葉逆變換

一般形式：

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

其中，$F(\omega)$為頻域信號(hào)，$f(t)$為傅里葉變換后的時(shí)域信號(hào)。

三、時(shí)域平移性

$f(t-T) \xrightarrow{\text{FT}} e^{-j\omega T}F(\omega)$

即信號(hào)在時(shí)間域平移$T$秒，對應(yīng)的頻域信號(hào)乘以$e^{-j\omega T}$。

四、頻域平移性

$e^{j\omega_0 t}f(t) \xrightarrow{\text{FT}} F(\omega-\omega_0)$

即信號(hào)在時(shí)域乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)$e^{j\omega_0 t}$，對應(yīng)的頻域信號(hào)在$\omega$軸上向右平移$\omega_0$。

五、時(shí)域?qū)ΨQ性

$f(-t) \xrightarrow{\text{FT}} F(-\omega)$

即信號(hào)在時(shí)間域取反，對應(yīng)的頻域信號(hào)在$\omega$軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱。

六、頻域?qū)ΨQ性

$f(t) \xrightarrow{\text{FT}} F(\omega)$

則有

$f^*(t) \xrightarrow{\text{FT}} F^*(-\omega)$

其中，$*$表示復(fù)共軛。即信號(hào)取復(fù)共軛，對應(yīng)的頻域信號(hào)在$\omega$軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱。

七、頻域保持

$f(t)e^{j\omega_0t} \xrightarrow{\text{FT}} F(\omega-\omega_0)$

即信號(hào)在時(shí)域乘以一個(gè)正弦波，對應(yīng)的頻域信號(hào)不變，但在$\omega$軸上向右平移$\omega_0$。

八、卷積定理

$f(t)*g(t) \xrightarrow{\text{FT}} F(\omega)G(\omega)$

即兩個(gè)信號(hào)卷積在時(shí)域相當(dāng)于在頻域上相乘。

九、功率譜密度

$S(\omega) = |F(\omega)|^2$

即傅里葉變換后的頻譜的模平方。

十、時(shí)域微分

$\frac{d^n}{dt^n}f(t) \xrightarrow{\text{FT}} (j\omega)^nF(\omega)$

即原始信號(hào)在時(shí)域進(jìn)行$n$次微分，對應(yīng)的頻域信號(hào)乘以$(j\omega)^n$。

以上是傅里葉變換的十大公式和性質(zhì)。這些公式和性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中是非常有用的。例如，在調(diào)制解調(diào)中，頻域平移性和時(shí)域平移性可以用于帶通濾波器的設(shè)計(jì)；功率譜密度可以用來分析信號(hào)的能量分布情況；卷積定理可以用于信號(hào)處理中的濾波器設(shè)計(jì)等。因此，掌握這些公式和性質(zhì)對于進(jìn)行信號(hào)處理和通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)是非常重要的。