什么是網(wǎng)孔分析法

網(wǎng)孔分析法（網(wǎng)孔電流法、回路電流法）是一種電路分析的基本方法，該方法將導(dǎo)線互不交叉的平面電路中的每個(gè)網(wǎng)孔電流設(shè)為未知量，并根據(jù)基爾霍夫電壓定律（KVL）建立聯(lián)立方程組，從而求解電壓和電流。它是與節(jié)點(diǎn)分析法并列的代表性電路分析方法，尤其能夠高效地求解具有多個(gè)電壓源的電路。若能靈活運(yùn)用這兩種方法，就可以應(yīng)對(duì)更廣泛的電氣網(wǎng)絡(luò)。接下來(lái)我們將詳細(xì)介紹網(wǎng)孔分析法的原理、基本步驟以及如何將其拓展應(yīng)用于包含多個(gè)電源和受控源的復(fù)雜電路。

網(wǎng)孔分析法概述

網(wǎng)孔分析法的前提是目標(biāo)電路為平面電路。該方法為每個(gè)閉合回路（即網(wǎng)孔）分配一個(gè)網(wǎng)孔電流作為未知量，并根據(jù)電路元件、電源和KVL建立聯(lián)立方程組。由于大多數(shù)示例電路都是平面電路，因此該方法具有適用性強(qiáng)的特點(diǎn)。

與基爾霍夫定律的關(guān)系

電路分析的基礎(chǔ)是基爾霍夫電壓定律（KVL）和基爾霍夫電流定律（KCL）。網(wǎng)孔分析法主要利用KVL來(lái)建立各回路的方程（回路電流方程）。對(duì)于每個(gè)獨(dú)立的閉合路徑（即網(wǎng)孔），通過(guò)網(wǎng)孔電流或網(wǎng)孔電流之差來(lái)表征電路元件上的電壓降或電壓升。另外，上圖是一個(gè)不含電源的回路，僅用于展示KVL的列寫(xiě)方法，其中i1=0是因?yàn)闆](méi)有電源。在包含電源E的一般形式中，會(huì)變成R∑i1=E等形式，請(qǐng)注意后文示例中討論的是包含電源的情況。例如，在雙網(wǎng)孔電路中，若將網(wǎng)孔電流命名為I1和I2，那么對(duì)每個(gè)回路應(yīng)用KVL，就可以得到兩個(gè)聯(lián)立方程組。

網(wǎng)孔分析法的優(yōu)點(diǎn)和適用范圍

網(wǎng)孔分析法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠減少未知量的數(shù)量，尤其是在包含多個(gè)電壓源的平面電路中。這種通過(guò)識(shí)別閉合回路來(lái)設(shè)置網(wǎng)孔電流的直觀方法，在初學(xué)階段或設(shè)計(jì)初期也是非常容易掌握的分析手段。

另一方面，對(duì)于立體布線等非平面電路，網(wǎng)孔的定義會(huì)變得困難甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。這種情況下，采用節(jié)點(diǎn)分析法等其他方法更為合適。

基本步驟和示例

在網(wǎng)孔分析法中，需要定義圍繞閉合回路流動(dòng)的網(wǎng)孔電流，并對(duì)每個(gè)回路應(yīng)用KVL。以下Step將采用僅包含電阻和電壓源的簡(jiǎn)單案例來(lái)說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)分析步驟。

Step?1：分配網(wǎng)孔電流

首先確認(rèn)電路是平面電路，然后為每個(gè)基本網(wǎng)孔（不包含其他回路的最小閉合路徑）設(shè)置任意方向的網(wǎng)孔電流。按照慣例，若將所有網(wǎng)孔均設(shè)為順時(shí)針?lè)较?，?huì)更易于進(jìn)行符號(hào)管理。

Step?2：對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔應(yīng)用KVL

對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔應(yīng)用KVL，并用網(wǎng)孔電流表示每個(gè)元件的電壓降或電壓升。當(dāng)網(wǎng)孔間共有元件時(shí)，該元件的電壓用網(wǎng)孔電流的差值來(lái)表示。
針對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔，沿著回路應(yīng)用KVL。需注意電流是如何流過(guò)每個(gè)電路元件的，回路內(nèi)有電壓源時(shí)需注意其極性。當(dāng)兩個(gè)網(wǎng)孔共有一個(gè)電路元件時(shí)，需要用兩個(gè)網(wǎng)孔電流在該元件內(nèi)流動(dòng)方向相反時(shí)的差值來(lái)表示該元件的電壓降。

例如，考慮一個(gè)具有網(wǎng)孔電流I1和I2的雙回路電路。假設(shè)第一個(gè)回路有電阻R1、R2和電壓源E1，第二個(gè)回路與第一個(gè)回路共有電阻R2，并另含電阻R3。對(duì)每個(gè)回路列寫(xiě)KVL，可以得到如下方程組：

具體示例：雙回路電路

網(wǎng)孔1：電阻R1=10Ω，互電阻R2=20Ω，電壓源E1=5V

網(wǎng)孔2：互電阻R2=20Ω，電阻R3=30Ω

將網(wǎng)孔電流i1、i2定義為順時(shí)針?lè)较?/p>

對(duì)網(wǎng)孔1應(yīng)用KVL：

代入數(shù)值：

對(duì)網(wǎng)孔2應(yīng)用KVL：

代入數(shù)值：

Step?3：確認(rèn)未知變量的數(shù)量

如果存在n個(gè)獨(dú)立網(wǎng)孔，通常可以得到n個(gè)網(wǎng)孔電流和n個(gè)KVL方程。若存在受控源，需要補(bǔ)充約束關(guān)系方程組，并確認(rèn)未知量數(shù)量與獨(dú)立方程數(shù)量一致。

Step?4：求解聯(lián)立方程組

求解示例

求解（1）（2）可得：

互電阻R2的電流為i1?i2≈0.14A，電壓降約為2.73V。

對(duì)于小規(guī)模電路，采用代數(shù)消元法和代入法就足夠了，但當(dāng)網(wǎng)孔數(shù)量較多時(shí)，整合成矩陣形式并運(yùn)用線性代數(shù)方法（或電路仿真器）求解會(huì)更高效。

基于矩陣形式的網(wǎng)孔分析法

當(dāng)含有多個(gè)電壓源或三個(gè)以上的回路時(shí)，手動(dòng)求解所有的聯(lián)立方程組將變得十分困難。在這種情況下，將方程組轉(zhuǎn)換為矩陣形式，并應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的線性代數(shù)步驟（或電路仿真和軟件），能夠使分析更加系統(tǒng)化。下面將介紹網(wǎng)孔分析法中矩陣表達(dá)式的建立方法和求解步驟。

矩陣形式的建立

矩陣形式的通用形式如下：

Ax=B

A：包含每個(gè)網(wǎng)孔的等效電阻和共有元件的系數(shù)矩陣

x=(i1,i2, …,in)T：網(wǎng)孔電流向量

B：電壓源等常數(shù)項(xiàng)向量

在雙網(wǎng)孔示例中，可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：

方程組：

矩陣形式：

通用矩陣表達(dá)式A、X、B：

求A的矩陣方程：

求A的逆矩陣（2×2較為容易）：

計(jì)算X=A?1B：

結(jié)果與之前求得的解一致。

三回路以上的網(wǎng)孔分析法

對(duì)于具有特定共有元件和電壓源的三回路電路，會(huì)生成一個(gè)可求解i1、i2、i3的矩陣方程組。由此求出電路中任意支路的電流或電壓降。

對(duì)于大規(guī)?；驈?fù)雜的電路，使用電路仿真器等軟件（MATLAB和Python等）處理會(huì)更為簡(jiǎn)便?？梢愿鶕?jù)具體情況選擇更優(yōu)的解法，如矩陣展開(kāi)法或消元法等系統(tǒng)性的方法來(lái)求解。

交流電路中的拓展應(yīng)用
只需將電阻R替換為復(fù)阻抗ZR=R，電感L替換為ZL=jωL，電容C替換為ZC=1/jωC，即可用相同的矩陣表達(dá)式來(lái)求解頻率響應(yīng)。

超網(wǎng)孔的概念

當(dāng)電流源等電路元件位于兩個(gè)網(wǎng)孔的邊界時(shí)，很難直接列寫(xiě)出這些網(wǎng)孔的KVL方程。在這種情況下，通常會(huì)采用超網(wǎng)孔分析法。超網(wǎng)孔是通過(guò)將兩個(gè)網(wǎng)孔合并成一個(gè)避開(kāi)電流源支路的大回路而形成的。當(dāng)包含二極管和晶體管等非線性元件時(shí)，需利用在工作點(diǎn)線性化并每次更新回路矩陣直至收斂的方法（牛頓-拉夫遜法）等。

什么是超網(wǎng)孔

當(dāng)電流源等元件位于兩個(gè)回路之間時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)這種情況。由于施加在該電流源上的電壓降可能是未知的（不能通過(guò)簡(jiǎn)單的歐姆定律關(guān)系直接給出），因此需暫時(shí)將兩個(gè)網(wǎng)孔視為一個(gè)不包含電流源支路的擴(kuò)展回路，并圍繞這個(gè)大閉合路徑應(yīng)用KVL。同時(shí)，補(bǔ)充一個(gè)與已知電流源IS值相關(guān)的約束方程（示例中為IS=i1–i2），從而求解未知電流。同樣的思路可進(jìn)一步擴(kuò)展到多個(gè)電流源或受控電流源中。當(dāng)因圖示的需要而將其中一個(gè)網(wǎng)孔電流繪制成逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，表達(dá)式可能呈現(xiàn)為i1+i2=IS，但如果將i2的方向統(tǒng)一后重新列寫(xiě)，該式將與i1–i2=±IS完全等價(jià)。

超網(wǎng)孔的應(yīng)用示例

假想網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2之間存在電流源IS的情況，并定義網(wǎng)孔電流i1和i2。跳過(guò)電流源支路，創(chuàng)建一個(gè)合并了回路1和回路2的超網(wǎng)孔。針對(duì)這個(gè)超網(wǎng)孔列寫(xiě)一個(gè)KVL方程，并利用兩個(gè)網(wǎng)孔電流的差值等于IS這一關(guān)系，由此即可獲得求解i1和i2所需的聯(lián)立方程組。

含受控源電路中的應(yīng)用

網(wǎng)孔分析法并不僅限于純電阻電路或基于電壓源的電路。只要電路保持平面結(jié)構(gòu)，或者能夠運(yùn)用超網(wǎng)孔的概念進(jìn)行處理，該方法也可適用于含獨(dú)立電流源、受控電壓源及受控電流源的電路。

獨(dú)立電流源

當(dāng)獨(dú)立電流源完全位于回路內(nèi)部時(shí)，改用節(jié)點(diǎn)分析法或采用其他方法處理該回路可能更為便捷。當(dāng)電源被兩個(gè)網(wǎng)孔共有時(shí)，通常需要采用超網(wǎng)孔分析法，或者也可以考慮能否通過(guò)節(jié)點(diǎn)分析法來(lái)減少未知量的數(shù)量。最終根據(jù)未知的網(wǎng)孔電流數(shù)量、回路方程的數(shù)量以及所需獨(dú)立方程的數(shù)量來(lái)決定。

受控源

受控源有四種類(lèi)型：電壓控制電壓源（VCVS）、電流控制電壓源（CCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電流源（CCCS）。在任何情況下，其輸出都取決于電路中其他位置測(cè)量到的電壓或電流。

VCVS和CCVS（受控電壓源）：在回路方程中補(bǔ)充α×ix或β×vx

VCCS和CCCS（受控電流源）：補(bǔ)充超網(wǎng)孔或控制變量方程

這些關(guān)系需要明確地引入到聯(lián)立方程組或矩陣形式中。這種方法雖然有效，但要注意符號(hào)規(guī)則和控制變量。

與節(jié)點(diǎn)分析法的比較

網(wǎng)孔電流分析和節(jié)點(diǎn)分析法經(jīng)常會(huì)引發(fā)這樣的疑問(wèn)：“在什么情況下應(yīng)該選用哪種方法？”。

節(jié)點(diǎn)分析法基于基爾霍夫電流定律（KCL）來(lái)設(shè)定未知的節(jié)點(diǎn)電壓，而網(wǎng)孔分析法則基于基爾霍夫電壓定律（KVL）來(lái)設(shè)定未知的回路電流。
對(duì)于相同復(fù)雜度的電路，求解網(wǎng)孔電流方程通常比節(jié)點(diǎn)電壓法所需的方程數(shù)量少。尤其是在電壓源分布廣泛且電路布局規(guī)整的平面電路情況下。

電源的類(lèi)型、分布情況和判斷標(biāo)準(zhǔn)

電壓源較多且為平面電路 → 宜采用網(wǎng)孔分析法

電流源分布廣泛或非平面電路 → 宜采用節(jié)點(diǎn)分析法

這些指導(dǎo)原則并不是絕對(duì)的，選擇網(wǎng)孔分析法還是節(jié)點(diǎn)分析法時(shí)，需要比較兩種方法各自需要求解的未知量數(shù)量、電壓源和電流源的分布情況以及電路是否為平面電路，從而確定更優(yōu)方法。

總結(jié)

網(wǎng)孔分析法特別適用于導(dǎo)線互不交叉的平面電路，在以電壓源為主的電路中，往往能夠減少未知量的數(shù)量。采用矩陣形式后，即使是規(guī)模龐大或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電路也能進(jìn)行系統(tǒng)性地求解。另一方面，對(duì)于含多個(gè)電流源的電路或非平面電路，采用節(jié)點(diǎn)分析法等其他方法更為合適。通過(guò)同時(shí)掌握網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法，可以大大拓寬從基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)到實(shí)際設(shè)計(jì)與仿真中電路分析的選擇范圍。