什么是節(jié)點分析法？

節(jié)點分析法（節(jié)點電壓法、節(jié)點電位法）是一種電路分析技術(shù)，以電路中各節(jié)點（連接點）的電位作為未知量，運用基爾霍夫電流定律（KCL）建立聯(lián)立方程進(jìn)行求解。作為與網(wǎng)孔分析法同樣重要的經(jīng)典電路分析方法，即使是包含眾多電阻和電源的復(fù)雜電路，利用該方法也能準(zhǔn)確求出各節(jié)點的電壓。本文將詳細(xì)闡述節(jié)點分析法的具體計算步驟。

節(jié)點分析法概述

節(jié)點分析法是將電路中各節(jié)點的電位作為未知量進(jìn)行定義，并運用基爾霍夫電流定律（KCL）來表示流入和流出該節(jié)點的電流總和的分析方法。隨著電路復(fù)雜程度的增加，逐個追蹤各個電流和電壓的難度也越來越大。通過聚焦于節(jié)點間的電位差，可將問題以聯(lián)立方程的形式進(jìn)行簡潔明了的處理。在下圖示例中，未知節(jié)點被設(shè)為“節(jié)點V”，并將其電位作為未知量處理。

節(jié)點與參考節(jié)點（基準(zhǔn)節(jié)點）

通常會選擇電路中的任意一點作為參考節(jié)點（接地）。以該參考節(jié)點為參考點，將其他所有節(jié)點電壓均定義為相對于該點的相對電位。由于未知量的數(shù)量等于“節(jié)點數(shù)減1”，因此即使電路規(guī)模龐大，也可有效縮減聯(lián)立方程的規(guī)模。

節(jié)點分析法的理論基礎(chǔ)

節(jié)點分析法主要結(jié)合基爾霍夫電流定律（KCL）和歐姆定律進(jìn)行分析。KCL表明流入節(jié)點的電流總和等于流出節(jié)點的電流總和，而歐姆定律則揭示了電壓與電流之間的線性關(guān)系。通過與這些定律相結(jié)合，為各節(jié)點建立方程并求解聯(lián)立方程，即可完成整個電路的分析。

基爾霍夫電流定律（KCL）的應(yīng)用

對于單一節(jié)點而言，流入該節(jié)點的電流總和與流出該節(jié)點的電流總和相等：

i1+i2+?+in=0

這是節(jié)點分析的基本方程。

歐姆定律與阻抗

各支路電流可由元器件兩端的電位差除以電阻或阻抗來表示。

電阻R時：

同樣地，電容和電感分別以頻域中的阻抗jωL和1/(jωC)來表示。

節(jié)點分析的基本步驟

下面是分階段實施節(jié)點分析的步驟及注意事項。即使是大規(guī)模的復(fù)雜電路，只要按步驟進(jìn)行，也可高效率地求解未知節(jié)點電壓。本節(jié)將詳細(xì)闡述采用矩陣形式（矩陣法）的計算過程（含中間步驟）。

第一步：選擇參考節(jié)點

將電路中的一個節(jié)點設(shè)為參考節(jié)點（接地，0V）。通常，選擇連接元器件最多的節(jié)點或?qū)嶋H電路中用作接地端子的節(jié)點，可減少未知量，使計算更簡單。

參考節(jié)點選擇要點

選擇連接多個元器件（電阻、電源、負(fù)載等）的節(jié)點更容易建立方程。

在同時存在直流電（DC）和交流電（AC）的多電源混合電路中，可能有些復(fù)雜，但選擇能使計算后的處理更簡單的節(jié)點作為參考點更為有利。

第二步：定義節(jié)點電壓

給參考節(jié)點以外的各節(jié)點分配電壓V1,V2,?…,Vn設(shè)總節(jié)點數(shù)為N時，未知量為（N?1）個。即使是大規(guī)模電路，也可明確變量的數(shù)量。

第三步：建立各節(jié)點的KCL方程

關(guān)于各節(jié)點

Σ(流入電流)=0

對于電阻和阻抗而言，均可運用歐姆定律來表示電流。

例如，節(jié)點V通過電阻R1連接至電壓源E1（左側(cè)節(jié)點），并進(jìn)一步通過電阻R2和R3連接至參考節(jié)點G=0V時，針對節(jié)點V的KCL方程為：

中間計算詳細(xì)示例

設(shè)R1=3Ω、R2=6Ω、R3=9Ω、電壓源E1=12V、未知節(jié)點電壓為V則

在這里基于KCL得出的方程，也稱為“節(jié)點方程（節(jié)點電壓方程）”。當(dāng)存在其他節(jié)點時，也可以同樣地建立相應(yīng)的方程，通過聯(lián)立求解得出各節(jié)點的電位。

第四步：整理為矩陣形式并求解

將聯(lián)立方程整理為導(dǎo)納矩陣G與未知節(jié)點電壓向量V的乘積GV =I后，便可進(jìn)行系統(tǒng)性處理。當(dāng)未知量較多時，可采用計算機的聯(lián)立線性方程組求解器（矩陣求解器），只要正確構(gòu)建矩陣G即可通過V=G?1I求解。

矩陣法示例

未知量中包含節(jié)點電壓和部分電流時的步驟如下：

將KCL、電壓源的約束矩陣化

通過逆矩陣或高斯消元法等直接的方法求解GV =I

補充說明：對于電壓源較多且回路數(shù)較少的平面電路，采用網(wǎng)孔分析法可能會使未知量更少。

超節(jié)點的處理

當(dāng)兩個非參考節(jié)點之間直接連接獨立電壓源時，僅靠常規(guī)的KCL方式是不夠的。這種情況稱為“超節(jié)點”，需要添加電壓約束方程。

超節(jié)點的概念

在將電壓源連接的兩個節(jié)點視為一個“合成節(jié)點”并應(yīng)用KCL時，需同時添加電壓條件：V1?V2=電壓源。

注意電壓源的極性

如果將V1?V2=VS或V2?V1=VS處理錯誤，將會導(dǎo)致符號錯誤。

超節(jié)點方程和中間計算

例如，節(jié)點A和節(jié)點B通過電壓源VS相連，且各自對參考節(jié)點存在電阻時：

KCL（超節(jié)點整體）(V1?0)/R1+(V2?0)/R2+…=0

電壓約束V1?V2=VS

將兩者整合至GV =I中。

節(jié)點分析法的實踐案例

下面是一個使用代入了具體數(shù)值的電路、分步驟進(jìn)行節(jié)點分析的示例。示例中也給出了在不省略中間計算步驟的情況下，同時將電流和節(jié)點電壓納入矩陣解的分析方法。

問題設(shè)定

求包含多個電壓源和電阻的電路（如下圖所示）中的節(jié)點電壓V1,V2與支路電流I1,I3。

電壓源（相對于0V參考節(jié)點）E1=12V

電阻R1=3Ω,R2=6Ω, R3=9Ω, R4=12Ω, R5=15Ω

具體示例（未知量的選定）

節(jié)點電壓V1,V2

支路電流I1,I3

聯(lián)立方程的構(gòu)建

KCL（節(jié)點V1）

KCL（節(jié)點V2 ）

構(gòu)建GV=I

數(shù)值代入及計算

代入數(shù)值

支路電流計算

在交流電路和頻域中的擴(kuò)展應(yīng)用

節(jié)點分析法不僅適用于直流電路，同樣也適用于交流電路。在交流分析中，將電感和電容的頻率依賴性作為阻抗Z來處理，并像直流分析一樣建立節(jié)點方程。

電感L：ZL =jωL

電容C：ZC = 1/(jωC)

阻抗R：ZR =R

復(fù)數(shù)分析和矩陣形式

復(fù)數(shù)分析

在正弦波激勵的情況下，各節(jié)點電壓用復(fù)數(shù)表示，KCL用復(fù)數(shù)阻抗進(jìn)行表述。其中，阻抗Z是指電阻、電感、電容等元件對交流電流呈現(xiàn)的頻率依賴阻力。例如，阻抗Z所連接的節(jié)點電壓V和VX，其電流可表示為i= (V–VX)/Z。

最終可獲得復(fù)數(shù)形式的節(jié)點電壓。

頻域的矩陣形式

定義節(jié)點和參考節(jié)點

確定各R,L,C

以復(fù)數(shù)阻抗來表述KCL

整理為Y(ω)V=I(ω)

用復(fù)線性代數(shù)求解V通過掃描頻率可獲得伯德圖等頻率響應(yīng)特性。

節(jié)點分析法在非線性大規(guī)模電路中的擴(kuò)展應(yīng)用

實際的電子電路中，包含多個受控源、二極管和晶體管等非線性元器件，甚至在IC芯片內(nèi)部也存在數(shù)十萬至數(shù)百萬個節(jié)點。節(jié)點分析法作為一種通用的計算框架，可擴(kuò)展應(yīng)用于眾多場景。

四種受控源的處理

受控源有四種類型：電壓控制電壓源（VCVS）、電流控制電壓源（CCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電流源（CCCS）。它們的輸出取決于電路內(nèi)部其他節(jié)點所測得的電壓或電流。

VCVS、CCVS（受控電壓源）：在矩陣中添加電壓約束行（CCVS需將控制電流IX作為新變量導(dǎo)入）

VCCS、CCCS（受控電流源）：在相應(yīng)導(dǎo)納項中添加系數(shù)（VCCS為gm，CCCS為k等）

非線性元件的線性化與迭代解法

當(dāng)電路中含有非線性元件時，I–V特性將不再保持線性比例關(guān)系，此時節(jié)點方程將變?yōu)榉蔷€性聯(lián)立方程。所以按照如下步驟

假設(shè)工作點（初始偏置）

在這一點上進(jìn)行泰勒展開，僅采用一次項（線性化）

通過牛頓迭代法等迭代解法進(jìn)行解的更新

重復(fù)①?③直至解收斂。這樣，即使電路中含有非線性元件，每個步驟仍可按線性節(jié)點分析法進(jìn)行處理。

在仿真工具中實裝（SPICE等）

SPICE類仿真工具會在內(nèi)部進(jìn)行節(jié)點分析。

將各元件展開至節(jié)點導(dǎo)納矩陣

自動執(zhí)行上一節(jié)所述的線性化和迭代步驟

輸出收斂后的節(jié)點電壓和元件電流

用戶只需繪制電路圖，軟件便會自動為各節(jié)點編號，并基于KCL求解方程。

半導(dǎo)體電路設(shè)計中的可擴(kuò)展性

在IC中，雖然寄生電阻、電容和電感的存在會導(dǎo)致節(jié)點數(shù)量急劇增長，但方法論本身并無本質(zhì)差異。

即使矩陣規(guī)模擴(kuò)大，只要采用稀疏矩陣求解器或迭代預(yù)處理方法，仍可將計算量控制在線性至準(zhǔn)線性范圍內(nèi)。

因此，在保持晶體管級詳細(xì)模型的同時，可對整個芯片進(jìn)行時序分析和電源完整性分析。

與網(wǎng)孔分析法的比較

另一種主要分析方法是網(wǎng)孔分析法（基于KVL、以回路電流為未知量），需根據(jù)電路結(jié)構(gòu)和元件情況區(qū)分使用。

適用范圍和選擇指南

在回路較少的平面電路中，采用網(wǎng)孔分析法可以減少待求未知量，從而簡化計算過程。

在電壓源較多的電路或無法平面繪制的立體結(jié)構(gòu)電路中，節(jié)點分析法往往步驟更為簡潔且易于處理。

在元器件數(shù)量較多的大規(guī)模電路中，由于節(jié)點分析法可直接構(gòu)建矩陣，因此即使電路規(guī)模擴(kuò)大，計算時間也不會急劇增加，能夠利用計算機進(jìn)行高效處理。

在小規(guī)模電路的手工計算中，采用網(wǎng)孔分析法與節(jié)點分析法相結(jié)合的混合分析法同樣行之有效。在這種混合分析法中，首先采用網(wǎng)孔分析法求解回路電流，然后利用該結(jié)果重新計算各節(jié)點的電位。通過先確定電流，可更輕松地處理僅憑節(jié)點分析法難以應(yīng)對的電壓源和公共電阻的影響，這一優(yōu)勢使得即便采用手工計算也很容易保持解的一致性。

結(jié)論

節(jié)點分析法是一種強大且系統(tǒng)化的電路分析方法。這種方法將各節(jié)點電壓作為未知量處理，不僅適用于電阻電路，還適用于采用復(fù)數(shù)阻抗的交流分析，以及基于線性化、迭代法的非線性電路分析。通過施加約束條件，還可處理超節(jié)點等特殊情況。SPICE和眾多仿真工具都是基于該原理構(gòu)建的，是現(xiàn)代電子電路設(shè)計中不可或缺的分析方法。深入理解節(jié)點分析法，可從容應(yīng)對大規(guī)模復(fù)雜電路。