來源：芯片電源完整性與信號完整性設計；作者：StrivingJallan

在高速信道中，尤其是當使用低損耗層壓材料時，導體損耗主導著介電損耗。因此，信道性能的準確預測依賴于導體損耗的精確建模。在直流（DC）情況下，導體中的電流分布是均勻的。然而，在典型的電路板走線中，當頻率高于約10MHz時，導體表面附近的電流密度會隨頻率增加而增大，而導體內部的電流密度則會減小。

從物理角度來看，電磁場和傳導電流被推出導體內部，以在給定頻率下實現最小阻抗。這種電流的重新分布導致單位長度電阻增加，單位長度回路電感減小。當頻率超過1GHz時，電阻會隨著頻率的增加而繼續(xù)增加，而回路電感則會達到一個極限值。這種單位長度電阻隨頻率增加而持續(xù)增加的現象被稱為趨膚效應，它會導致頻率相關損耗，并由于碼間串擾（ISI）抖動的增加而使眼圖閉合。

雖然所有全波工具都能模擬這些效應，并基于趨膚效應提供損耗預測，但除了電阻對衰減的影響外，很少看到對這種效應的詳細分析和直接測量。而且，這些測量通常是在電流分布從體分布過渡到趨膚效應分布之后的高頻段進行的。部分原因是在存在接觸電阻和傳輸線諧振行為的情況下，測量非常小的單位長度電阻存在困難。

理解趨膚效應

傳輸線的信號路徑和返回路徑中的電流會重新分布，以最小化信號-返回回路的阻抗。在較高頻率下，感性阻抗占主導地位，電流會重新分布以減小路徑的內部自感。這種電流重新分布的效應被稱為“趨膚效應”，因為電流集中在導體的外表面?？梢酝ㄟ^不同頻率下電流密度的彩色圖輕松看到信號和返回電流的重新分布。

如圖1所示，帶狀線幾何結構的電流分布在不同頻率下有所不同。在1 MHz（足夠低以至于不存在趨膚效應的頻率）下，電流在信號線和返回平面中均均勻分布。

圖1：不同頻率下電路板走線及其返回路徑中的電流密度。

當頻率增加到100 MHz時，開始看到信號線中的電流向導體表面重新分布。在1 GHz時，可以清楚地看到趨膚效應的形成，此時電流主要停留在信號線的頂部和底部表面，以及返回平面中靠近信號的一側。

為實現最低電感而進行的電流重新分布將電流推向導體表面，從而減小了橫截面積，增加了電阻。電阻的增加和電感的減小如圖2所示。趨膚效應的影響可以從單位長度電阻和電感隨頻率的變化方式中觀察到。趨膚效應隨著頻率的增加而減小單位長度電感，同時增加單位長度電阻。

圖2：單位長度電阻和單位長度電感的頻率依賴性。

圖3：電路板橫截面，顯示靈敏度分析中要變化的不同參數。

帶狀線中單位長度電阻R???(f)和單位長度電感L???(f)對不同PCB參數的靈敏度

在深入研究測量過程和創(chuàng)建模擬模型之前，重要的是確定不同的印刷電路板參數如何影響感興趣的測量結果，以便了解在測量和模擬中可以預期到什么。為了探究給定疊層和走線的不同尺寸的影響，對圖3所示帶狀線環(huán)境中的信號線和相關參數進行了靈敏度分析。

圖4：寬度變化20%時的單位長度電阻和單位長度電感曲線。

有五個參數會影響單位長度電阻R???(f)和單位長度電感L???(f)。一階近似下，介電特性并不重要，因為PCB制造中使用的層壓材料是非磁性的，相對磁導率為1，因此單位長度電感僅受幾何形狀影響。了解了要變化的參數后，現在可以進行分析。該分析包括對列出的每個參數應用相同的百分比變化，并觀察兩條曲線與標稱值的偏差。

對寬度變化的靈敏度

首先，觀察寬度變化如何改變單位長度電阻和單位長度電感的特性。與標稱值相比，預計較寬的走線寬度會導致較低的電阻和電感，而較窄的走線寬度會導致較高的電阻和電感。

圖4中的單位長度電阻和單位長度電感曲線顯示的結果與預期一致。此外，它表明了正確走線寬度的重要性，因為電阻和電感都對寬度變化敏感；寬度變化±20%會導致電阻變化±20%，電感變化約±10%。

對基板高度的靈敏度

其次，改變信號線上方和下方的基板高度，并觀察電阻和電感曲線的變化。一方面，由于大部分電流位于信號線的導體中，預計改變基板高度對電阻曲線幾乎沒有影響。

另一方面，基板高度應該會影響電感曲線，因為互感的大小由信號和返回路徑之間的距離決定：信號與返回路徑越近，互感越高，總電感越低。此外，當改變較近返回路徑的距離H1時，應該會產生更大的影響。

圖5顯示了改變H1（走線上方高度）和H2（走線下方高度）的結果。正如預期的那樣，兩種基板高度的20%變化對電阻曲線幾乎沒有影響，并且改變H1引起的電感變化明顯大于改變H2引起的變化。

圖5：基板高度變化20%時的單位長度電阻和單位長度電感曲線。

具體而言，H2變化20%對單位長度電感的影響最多為2.5%，而H1變化20%對電感的影響超過10%。由于電感曲線對H1更敏感，因此H2被視為固定值，不會進行調整。

對電導率和厚度的靈敏度

最后，展示電阻和電感曲線對信號線電導率和厚度的敏感程度。在直流情況下，單位長度電阻為：

從式(1)所示的直流單位長度電阻可以預計，在低頻下，電導率和厚度的相同百分比變化對電阻曲線的影響方式相同。然而，當頻率增加到趨膚效應開始出現且電流開始重新分布時，頻率相關的單位長度電阻變?yōu)椋?/p>

當頻率足夠高且趨膚效應顯著時，厚度和電導率的變化將在電阻曲線中以不同的方式呈現。此外，由于電感與電導率無關，因此即使電導率不同，電感曲線也應保持不變，并且較厚的導體具有較低的電感。

圖6左側的電阻曲線顯示了電導率和厚度變化帶來的預期不同頻率依賴性。圖6右側的電感曲線表明，電感對電導率不敏感，但對厚度敏感（盡管厚度變化20%僅導致電感變化1%）。電阻曲線對厚度和電導率變化具有不同的頻率依賴性，而厚度變化會導致電感發(fā)生微小變化。

圖6：厚度和電導率變化20%時的單位長度電阻和單位長度電感曲線。

減少變量數量

通過靈敏度分析了解了五個不同參數對電阻和電感曲線的不同影響后，將研究是否可以減少變量數量。為此，重新審視電阻的表達式：

假設導體為矩形，重寫式(3)可得：

其中W是導體寬度，t是厚度。重新整理項并引入薄層電阻R□，式(4)變?yōu)椋?/p>

經過上述處理，將電導率和厚度合并為一個新的項：薄層電阻。由于薄層電阻是電導率和厚度乘積的倒數，因此一旦測量出薄層電阻，只需其中一個變量就可以計算出另一個變量。

此外，為了包含制造過程中標稱走線寬度的變化（如圖7所示），在式(5)的寬度中添加了修正項ΔW，并取倒數：

圖7：電路板走線與標稱值存在微小寬度變化的示意圖。

式(6)中的最后一個方程表明，電導是走線寬度的線性函數，斜率是薄層電阻的函數。

利用通過檢查電導方程獲得的見解，設計了一組帶狀線測試圖案，包含五條不同寬度、相同長度的走線（微帶線示例如圖8所示）。薄層電阻R□和寬度修正項ΔW將通過擬合電導數據點的線性函數來提取。使用這五條線，可以提取出R□和ΔW的值，原本的五個變量現在減少到三個：厚度和基板高度。

圖8：一組具有五種不同寬度的微帶線測試線，用于提取薄層電阻和寬度變化。

潛在偽影：電流收縮和過孔

為了在后續(xù)測量中使用行業(yè)標準的SET2DIL探頭，測試圖案中融入了SET2DIL封裝。相同的SET2DIL圖案用作五種不同走線寬度的饋入端。在饋入端和末端的過孔短路處可能存在電流收縮的潛在偽影。此外，由于測試線位于帶狀線層，需要過孔過渡才能從表面探測線路。

為了消除過孔和饋入端的潛在偽影，制造了兩種不同長度的相同寬度測試線，如圖9所示。通過計算較長線路和較短線路的差值，能夠消除這些偽影及其頻率相關特性。通過計算兩者的差值，消除潛在的過孔電阻和電流收縮偽影。

圖9：相同走線寬度的長線路和短線路。

測試圖案尺寸

圖9顯示了帶狀線測試圖案的一個示例。較長的線路為1.3in，較短的線路為0.3in，從第一個過孔的中心到末端的短路過孔進行測量。每條長線路和短線路都有五種不同的寬度，從6mil到30mil，步長為6mil。

考慮到1盎司銅的尺寸和一般薄層電阻值（0.5毫歐/平方），可以使用最短和最寬的線路來近似預期的最低電阻值。寬度為30mil、長度為0.3in的最短最寬線路有10個平方，對應的電阻為5毫歐。

使用低成本定制微歐計進行精密直流測量

為了消除接觸電阻的影響并有效測量低至毫歐范圍的直流電阻，eric團隊構建了一臺精密微歐計，其系統(tǒng)框圖如圖10所示。

圖10：定制精密微歐計的照片及其系統(tǒng)框圖。

總之，微控制器用于向雙極結型晶體管發(fā)送電壓，以提供測試電流。然后通過測量特征明確的檢測電阻兩端的電壓比來測量測試電流的值。當相同的測試電流流過被測器件（DUT）時，會使用差分放大器來提高被測器件兩端測量電壓的信噪比。最后，通過測量器件電壓與測量測試電流的比值來計算被測電阻。

除了用于消除接觸電阻的四點開爾文連接外，還采用了許多設計特征來補償熱電動勢、減少檢測電阻的自熱并提高測量精度。圖11顯示了微歐計對2毫歐、0.5%精度電阻的十次連續(xù)測量。定制的微歐計準確測量了2毫歐的電阻，每次測量之間的差值小于0.25%。

圖11：使用定制微歐計測量2毫歐、0.5%精度電阻的結果。

直流測量結果

使用上述微歐計，使用SET2DIL微探頭作為夾具測量了長線路和短線路的電阻，如圖12所示。然后通過計算測量的長線路和短線路之間的差值，得到沒有過孔或饋入端的1in部分的電阻。

圖12：使用SET2DIL探頭作為夾具的測試線直流測量。

根據式(6)，為了提取薄層電阻和寬度變化，計算了每種寬度的電導，并通過電導數據點擬合了線性函數，如圖13所示。提取的薄層電阻值為0.591毫歐/平方，與1盎司銅的經驗值（0.5毫歐/平方）一致。

圖13：薄層電阻和寬度變化的提取過程。

蝕刻回退是一個重要項

為了確保給定的電導數據點需要寬度變化量，還擬合了另一條不假設寬度變化的趨勢線。然后通過計算模型預測值與測量值之間的差值，比較兩個模型的擬合度。

如圖14所示，雖然帶有蝕刻回退項的模型預測值與測量值的差值小于3%，但沒有蝕刻回退項的預測值與測量值的電阻差值高達20%。兩個模型的比較結果證實了蝕刻回退項的必要性。模型中包含蝕刻回退項時，電阻誤差小于3%；不包含蝕刻回退項時，最窄線路的電阻誤差為20%。

圖14：兩種不同模型的電阻誤差。

-1.23mil的值意味著實際線路寬度比設計的線路寬度薄1.23mil。這與各向同性減法工藝中預期的蝕刻回退量相當。蝕刻回退量將與走線的厚度相當。

提取值的一致性如何？

需要注意的是，從射頻測試圖案中提取的1in長走線的串聯(lián)電阻包括返回路徑的串聯(lián)電阻。這種末端帶有短路過孔的射頻測試圖案在直流下測量時，無法區(qū)分信號路徑和返回路徑的貢獻。

設計并測量了另一種圖案，該圖案僅包含同一板上同一層的信號線。這種不同的測試結構如圖15所示，它是一系列不同寬度、位于不同PCB層的3in線路。

圖15：用于薄層電阻和寬度變化一致性測試的直流測試線。

相同的電流通過所有線路，并測量3in均勻走線兩端的電壓降。寬度的變化與之前的測試結構相同：從6mil到30mil，步長為6mil。將相同的算法應用于測量的電阻，以提取薄層電阻和蝕刻回退。

檢查了總共四塊不同的板，提取的薄層電阻和蝕刻回退值列于圖16中。從射頻測試線中提取的蝕刻回退比四塊不同板的平均蝕刻回退值大17%。這表明同一面板上不同區(qū)域的變化。射頻圖案測量的薄層電阻比直流測試線提取的薄層電阻平均值高2%。

圖16：從四塊不同板的直流測試圖案中提取的薄層電阻和蝕刻回退的表格結果。

直流測試圖案中提取的薄層電阻在樣本間的變化小于0.5%。這與銅箔面板上薄層電阻分布的測量結果一致。將一塊18in×24in的面板分成54個2in×2in的正方形，并用四點探針測量每個正方形的薄層電阻。

圖17：標準銅箔面板的薄層電阻差異百分比空間圖。

圖17顯示了薄層電阻相對于排除邊緣和角落值計算的平均薄層電阻的百分比空間圖。角落和邊緣的較高電阻是由于電路板邊緣的電流擁擠導致的測量偽影。面板上的薄層電阻變化小于1%。

然而，射頻測試結構中測量的薄層電阻仍然比直流測試結構中測量的高約2%。認為這種變化是由于射頻測試圖案中存在返回路徑，而直流測試圖案中沒有。

為了驗證這一點，在全波3D電磁模擬器Simbeor中進行了兩個實驗。對固定長度的帶狀線進行了模擬，并在兩種情況下提取了薄層電阻；兩種情況之間的唯一區(qū)別是返回平面的電導率。

圖18：具有不同返回平面的帶狀線走線的模擬設置和結果。

圖18中的實驗結果證實，射頻結構測量中2%的差異確實是由返回平面引起的。模擬與測量之間的一致性證實了的推測，即直流線路和射頻線路之間的薄層電阻不同是由于射頻線路相關的返回平面。

過孔和饋入端偽影的殘留

為了檢查過孔電阻和饋入端對電阻的影響，使用提取的薄層電阻和線路寬度減去了被測傳輸線的標稱過孔到過孔長度的電阻。

考慮到過孔直徑為15mil，周長為45mil，基板高度為40mil，預計過孔電阻在1-2毫歐范圍內，饋入端的電流收縮貢獻的電阻量大約相同。

圖19：通過減去0.3in線路和1.3in線路的電阻計算出的殘留電阻。

然而，如圖19所示，減去線路部分后的殘留電阻結果顯示殘留電阻要高得多。這種模式表明，當幾何形狀發(fā)生變化時，電流會發(fā)生顯著的重新分布。細節(jié)將在后續(xù)研究中進行調查。

獲取單位長度電阻R???(f)和單位長度電感L???(f)的方法

提取并確認了薄層電阻和寬度變化值的一致性后，成功地將五個不同的變量——寬度、基板上方高度、基板下方高度、電導率和厚度——減少到三個：基板高度和走線厚度。剩余的三個變量通過將模型擬合到射頻測試結構的測量單位長度電阻和單位長度電感曲線來提取。

用于提取R???(f)和L???(f)的射頻結構

單位長度電阻和單位長度電感曲線可以利用傳輸線的集總元件模型來提取。傳輸線通常示意性地表示為雙線線路，因為傳輸線（用于橫向電磁波[TEM]傳播）總是至少有兩個導體。長度為無窮小Δz的線路段被建模為集總元件電路，如圖20所示，其中R、L、G和C是單位長度的量。

圖20：無窮小長度傳輸線的集總元件模型示意圖。

為了研究單位長度電阻和單位長度電感，射頻測試結構的末端被短路。通過短路傳輸線的末端，在遠低于傳輸線1/4波長諧振的頻率下，輸入阻抗實際上就是頻率相關的單位長度電阻和單位長度電感曲線。

短路傳輸線的預期R???(f)和L???(f)

如圖21所示，短路傳輸線的輸入阻抗相當于一個頻率相關電阻和一個頻率相關電感串聯(lián)。如果它們處于集總電路狀態(tài)，則可以使用給定長度的單位長度項。一旦確定了輸入阻抗，串聯(lián)網絡輸入阻抗的實部就是單位長度電阻，虛部與單位長度電感相關。

圖21：用集總電阻和電感表示的傳輸線輸入阻抗的簡單模型。

理想情況下，單位長度電阻曲線在低頻下應保持相對恒定，隨著頻率的增加，當趨膚效應顯著時，電阻與頻率的平方根成正比，如圖22所示。另一方面，單位長度電感曲線是輸入阻抗的虛部與角頻率的商。隨著趨膚效應的產生，更多的電流集中在導體表面，電感會減小。當所有電感都是外部電感時，單位長度電感達到一個恒定值。

圖22：無窮小長度短路傳輸線單位長度電阻的理想頻率依賴性。

盡管使用上述方法將輸入阻抗讀數轉換為單位長度電阻和單位長度電感似乎很簡單，但獲取輸入阻抗測量值存在許多實際挑戰(zhàn)。

使用雙端口技術實現低電平測量

根據測試結構的幾何形狀，估計的電阻約為15毫歐。在單端口測量中，這種電阻結構的S??值為：

由于實際信噪比和夾具可重復性的限制，傳統(tǒng)單端口矢量網絡分析儀在實踐中難以測量這種低電阻/阻抗范圍。

因此，使用了一種用于測量低電阻的替代射頻技術。這種非常規(guī)的雙端口超低阻抗測量技術類似于四點開爾文技術。在這種情況下，兩個端口都連接到同一個節(jié)點。端口1激勵被測器件，而端口2測量激勵的響應，如圖23所示。

圖23：雙端口低阻抗測量的端口配置。

在參考端口阻抗為50歐姆的情況下，雙端口測量的輸入阻抗計算為：

將估計的15毫歐電阻作為輸入阻抗代入式(8)，求解S??，得到-64 dB，該值比-0.005 dB更易于測量。

傳輸線諧振偽影

對于一段短路傳輸線，輸入阻抗可以表示為：

其中Z?是線路的特性阻抗，γ是復傳播常數，len是傳輸線的長度。式(9)中的正切函數導致輸入阻抗在線路長度為四分之一波長的整數倍時出現周期性諧振行為。

圖24：左圖：1.3in線路（藍色）與無窮小長度線路的諧振傳輸線效應對比；右圖：低于150 MHz時，傳輸線效應引入的電阻差異小于3%。

由于這種四分之一波長諧振，短路傳輸線在不同頻率下看起來像開路，具體取決于線路的物理長度：線路越長，第一個諧振頻率越低。如圖24所示，對于較長的1.3in線路，在150MHz以上，諧振行為開始在解釋的單位長度電阻中產生大于3%的偽影。該頻率決定了數據的帶寬，傳輸線效應偽影小于3%。

探頭長度偽影

除了傳輸線效應外，如圖25所示的加長微探頭也會在提取的電阻中產生顯著的偽影。探頭長度的存在會給被測器件的測量帶來額外的相位。為了檢查相位的影響，首先將輸入阻抗表示為幅度和相位的形式Z??= |Z???|e??，然后通過取輸入阻抗的實部來找到電阻：

從式(10)可以清楚地看出，提取的電阻確實是相位的函數。為了觀察測量中的影響，測量了1.3in線路，并使用式(8)將S??轉換為輸入阻抗后，取輸入阻抗的實部，觀察探頭長度對提取電阻的影響。

圖26：顯示加長探頭的相移導致電阻增加一個數量級的單位長度電阻曲線。

圖26中的紅色曲線是提取的單位長度電阻與包含傳輸線效應的理想1.3in線路的對比。在感興趣的頻率范圍內，探頭長度的存在使電阻增加了一個數量級。為了消除與探頭長度相關的這種電阻偽影，在計算電阻和電感曲線之前，應對測量結果進行適當的去嵌入處理。

使用2x直通參考結構進行去嵌入

為了對探頭進行去嵌入，測量并建模了六個名義上相同的2x直通結構。然而，如圖27所示，名義上相同的夾具在時間延遲方面存在很大差異，時間延遲是決定夾具異常相移的重要項。直通結構之間的時間延遲差異高達10皮秒。

圖27：六個名義上相同的直通結構的測量結果。

為了了解探頭長度差異對單位長度電阻曲線的影響，將R表示為時間延遲的函數，得到：

使用電感估計值（10納亨/in）、估計電阻15毫歐和測試圖案的給定尺寸，將式(11)繪制在圖28中。如圖所示，在100 MHz時，總延遲為1皮秒，相對電阻的差異超過5%。

圖28：電阻差異百分比圖。在100 MHz時，1皮秒的總延遲會導致超過5%的電阻差異。

已經展示了時間延遲影響的計算，名義上相同的夾具中10皮秒的差異似乎是一個障礙。然而，通過后面部分介紹的新型負長度去嵌入技術，可以調整去嵌入元件的不同長度以適應這些夾具差異。

去嵌入后的非物理相位行為

盡管負長度去嵌入技術允許用戶調整去嵌入傳輸線的長度以降低可能的電阻差異，但確保去嵌入后的測量結果保持物理特性非常重要。

為了確保物理行為，根據測量的S參數重寫式(8)，并檢查阻抗的相位：

根據式(12)，為了使去嵌入后的結果在去嵌入后具有物理特性，輸入阻抗的相位必須保持在±90度之間，因為這是反正切函數的范圍。

圖29：去嵌入長度過多時觀察到的非物理行為。

圖29顯示了理想相位（藍色）與去嵌入過多和去嵌入不足的對比。因此，良好的去嵌入過程是去嵌入足夠的探頭長度，使輸入阻抗的最大相位小于90度。

偽影：去嵌入后的相位噪聲

如圖30所示，雖然去嵌入過程已經調整到使輸入阻抗的相位低于90度，但由于去嵌入過程的數值特性，相位中存在波紋。

圖30：去嵌入后的輸入阻抗相位存在數值噪聲的示例。

為了查看去嵌入后相位中數值噪聲的后果，檢查了當將傳輸線的負長度調整到去嵌入到波紋的峰值和去嵌入到第一個波紋谷時的電阻差異，如圖31所示。

圖31：將輸入阻抗相位去嵌入到峰值和谷值以檢查電阻變化的示例。

兩種極端情況下去嵌入后的電阻曲線以及兩種去嵌入配置的電阻百分比差異如圖32所示。選擇3%作為電阻差異的容差，去嵌入測量的有效帶寬為80 MHz。

圖32：去嵌入到峰值和谷值時的電阻差異圖。

負長度傳輸線去嵌入技術

使用簡單的傳輸線模型來擬合測量的2x直通結構。然后通過將長度設置為負值來反轉該模型。令人驚訝的是，這個簡單的模型就是從雙端口測量中去嵌入夾具所需的全部。

該技術的優(yōu)點是允許實時精細調整長度，以保持阻抗相位處于非物理狀態(tài)之外。這種負長度傳輸線元件作為一種簡單的去嵌入元件，已在其他模擬中得到驗證。

去嵌入射頻測量的一致性

圖33顯示了測量的去嵌入1.3in線路和0.3in線路之間的差值結果。五條不同的曲線對應于薄層電阻測量中規(guī)定的五種不同寬度。由于射頻測量的起始頻率足夠低，使得走線中的電流均勻分布，將10kHz時的射頻測量與直流測量進行了比較。

圖33：五種不同寬度線路的去嵌入測量結果。

圖34顯示了射頻結構的直流測量與射頻測量的低頻讀數之間的比較。使用相同的提取薄層電阻和寬度變化的方法，還從射頻測量中計算了薄層電阻和蝕刻回退的值。提取的薄層電阻和寬度變化的差值不超過3%，證實了方法的一致性。

圖34：直流測量和低頻射頻測量的單位長度電阻比較。

差異：薄層電阻R□：0.3%，寬度變化ΔW：2.7%

初步模擬與測量相關性

如圖35所示，通過使用1.19mil的厚度和5.6×10? S/m的電導率，以及供應商提供的標稱基板高度和介電特性，在50 kHz到80 MHz的上限范圍內實現了單位長度電感的良好擬合。

圖35：6mil寬線路從9 kHz到80 MHz的測量（紅色）和模擬（藍色）匹配。

測量的單位長度電阻從低頻端到約10 MHz（趨膚深度開始出現的地方）與模擬的單位長度電阻非常匹配。目前，正在研究趨膚效應開始后單位長度電阻曲線形狀差異的原因。

總結

上文詳細探討了趨膚效應的物理特性及其對單位長度電阻和單位長度電感的影響。為了更好地關聯(lián)趨膚效應的測量和模擬結果，也研究了帶狀線疊層中不同幾何參數如何影響單位長度電阻和單位長度電感曲線。