小波變換以其多分辨率分析的特性，在時頻域內(nèi)良好的表征信號的能力以及大小固定形狀可變的窗口等特點，廣泛應(yīng)用于圖像去噪中，并得到了很好的去噪效果。而小波閾值去噪法是小波分析法在圖像去噪眾多應(yīng)用中最常用的一種方法，利用閾值處理后的小波系數(shù)進行小波反變換重構(gòu)出去噪后的結(jié)果圖像。在小波閾值去噪法中的兩個重要的因素—閾值選取方式和閾值函數(shù)，直接決定圖像去噪的效果，所以要針對噪聲和圖像選取合適的閾值函數(shù)和最佳閾值，才能最大程度去除圖像噪聲。

本文提出了新的閾值函數(shù)，這一函數(shù)既滿足函數(shù)的連續(xù)性，又解決了閾值函數(shù)恒定偏差問題。

1、小波閾值去噪原理

小波閾值去噪方法中噪聲通常處于高頻，利用這一特點，通過對高頻部分進行相應(yīng)閾值化處理，然后進行重構(gòu)，這樣就達到了去除噪聲的目的。

假設(shè)一幅圖像被高斯噪聲污染的表示形式如下：

為含噪聲圖像;nj，k為高斯白噪聲，服從正態(tài)分布N（0，δ^2）正態(tài)分布。

小波閾值方法通過以下3步驟進行實現(xiàn)：

1）對fj，k作小波變換，得到小波系數(shù)wj，k;

2）通過對wj，k進行閾值化處理，得出小波估計系數(shù)w^j，k;

3）利用w^j，k進行小波系數(shù)重新構(gòu)造得到去噪后的圖像f^j，k。

常用的閾值求法有：斯坦無偏似然估計準(zhǔn)則、固定閾值準(zhǔn)則、啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則和極大極小原理準(zhǔn)則。本文采用固定閾值準(zhǔn)則固定閾值定義如下：

其中：M×N為圖像的大小。

2、小波閾值函數(shù)

2．1、常見的小波閾值函數(shù)

小波閾值去噪法的另一種稱呼是閾值函數(shù)，也就是利用閾值函數(shù)來獲得閾值，閾值函數(shù)應(yīng)用最多的就是Donoho等提出的閾值的方法，而且Donoho等也證明了利用小波閾值去噪比其他經(jīng)典的去噪方法優(yōu)越。隨后人們在此基礎(chǔ)上提出了改進的閾值函數(shù)，如硬軟折中閾值函數(shù)等。硬、軟閾值函數(shù)分別如式（3）（4）。

硬閾值函數(shù)定義為：

2．2、改進的小波閾值函數(shù)

硬、軟閾值方法在去噪方面取得了較好的效果，但它們存在缺點。式（3）雖然解決了|w^j，k－wj，k|的誤差問題，但存在間斷點±λ，在圖像重建時會產(chǎn)生一些附加震蕩，而且比較容易出現(xiàn)Pseudo-Gibbs現(xiàn)象等視覺失真。同樣，式（4）在±λ處連續(xù)性好，但|w^j，k－wj，k|存在恒定的誤差，這樣會使圖像的高頻信息產(chǎn)生丟失等失真的現(xiàn)象，且式（4）存在高階求導(dǎo)的困難，不利于進一步用數(shù)學(xué)工具對它處理。硬軟折中閾值函數(shù)對式（3）（4）進行了改進，但依然存在恒定偏差問題。

為了更好地解決以上方法所帶來的問題，文獻分別提出了如下的改進的閾值函數(shù)：

式（5）很好地解決了含噪圖像的小波系數(shù)與估計小波系數(shù)恒等的誤差問題，但它沒有調(diào)節(jié)因子，顯然不夠靈活，而且連續(xù)性差;式（6）雖然解決了連續(xù)性問題，但含噪圖像的小波系數(shù)與估計小波系數(shù)的恒定偏差還是沒有得到很好的解決。為了能夠有效解決上述問題，本文提出了新的函數(shù)：

圖1的橫坐標(biāo)為對fj，k經(jīng)過小波變換得到的原始的小波系數(shù);縱坐標(biāo)為對小波系數(shù)進行閾值處理后的得到的估計的小波系數(shù)。λ為門限值;根據(jù)式（7）的函數(shù)進行繪圖。圖1中，λ=5，原始小波系數(shù)取值范圍為－20～20。

圖1 ? α=1，n=3時改進閾值函數(shù)