我經(jīng)常會(huì)被問(wèn)到這么一個(gè)問(wèn)題：樣本量多大就不用進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)了。殊不知，這問(wèn)題的本身就是錯(cuò)誤的，并不是樣本大，就一定要服從正態(tài)分布。我們可以輕易舉出一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。比方說(shuō)就用1-1000這一千個(gè)（甚至更多）自然數(shù)，組成一個(gè)樣本，那么這個(gè)樣本的分布就不是正態(tài)分布，因?yàn)?-1000服從的是均勻分布。另外，數(shù)據(jù)的分布基于形成的機(jī)理，有的分布天生就非正態(tài)（如壽命數(shù)據(jù)）。

但有些朋友，并不覺(jué)得這是一個(gè)錯(cuò)誤的問(wèn)題，甚至在他們的學(xué)習(xí)中還流傳著這么一個(gè)說(shuō)法：樣本量大于30就可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布。當(dāng)你向他問(wèn)為什么的時(shí)候，會(huì)得到一個(gè)專(zhuān)業(yè)的解釋——中心極限定理。

中心極限定理

中心極限定理（Central Limit Theorem）是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的結(jié)論之一。在這里，我并不想給出中心極限定理專(zhuān)業(yè)的定義，只需要了解它告訴我們：來(lái)自某總體的一個(gè)樣本，無(wú)論該總體服從什么分布，只要樣本容量足夠大，其樣本均值都近似服從正態(tài)分布。

請(qǐng)注意這里的說(shuō)法：“樣本均值“近似正態(tài)，而不是樣本本身服從正態(tài)（不是說(shuō)你抽了30個(gè)樣品組成的樣本數(shù)據(jù)就正態(tài)）。這里又有一個(gè)大家疑惑的地方，樣本容量足夠大，多大才是足夠大？這個(gè)問(wèn)題的答案和總體分布的形狀相關(guān)，如果樣本本是來(lái)自近似對(duì)稱分布的總體，那么當(dāng)樣本量取相當(dāng)小（如樣本量取5）的值的時(shí)候，正態(tài)逼近的結(jié)果也會(huì)非常好。然后，如果總體的分布嚴(yán)重傾斜，則樣本量必須取相當(dāng)大的值。根據(jù)檢驗(yàn)，對(duì)于大多數(shù)總體來(lái)說(shuō)，樣本容量取30或者更大，就足以得到令人滿意的正態(tài)逼近結(jié)果。我想這可能就是錯(cuò)誤認(rèn)為樣本量大于30就認(rèn)為是正態(tài)分布的出處了。

模擬擲骰子展示中心極限定理

為了展示中心極限定理，模擬多次投擲骰子來(lái)說(shuō)明。

假設(shè)您擲骰子 1000 次。您希望得到相等數(shù)目的 1、2 等。讓我們查看 1000 次骰子的分布（圖1）。

現(xiàn)在假設(shè)您將投擲 2 次，并采用兩次投擲的平均值。您還將重復(fù)此試驗(yàn) 1000 次。讓我們來(lái)看看兩次投擲的平均值的分布。這種分布如圖 2?所示。您是否注意到在只進(jìn)行了兩次投擲的情況下，平均值的分布已經(jīng)呈現(xiàn)出了土堆形？

假設(shè)您現(xiàn)在投擲骰子三次，然后取三次投擲的平均值。再次重復(fù)此試驗(yàn) 1000 次。讓我們來(lái)看看此舉對(duì)投擲的平均值分布有何影響。這種分布如圖 3?所示。同樣，分布的形狀與正態(tài)分布的形狀相當(dāng)接近。您是否注意到分布上發(fā)生了其他變化？

讓我們投擲骰子五次，并取其平均值。再次重復(fù)此試驗(yàn) 1000 次。這種分布如圖 4?所示。您是否已開(kāi)始注意到所發(fā)生的情形中存在任何模式？

讓我們繼續(xù)增加平均投擲次數(shù)。此時(shí)您將投擲 10 次，并采用 10 次投擲的平均值。這種分布如圖 5?所示。

現(xiàn)在，隨著您增加投擲次數(shù)，將看到兩個(gè)現(xiàn)象。首先，您會(huì)看到，平均分布的形狀開(kāi)始與正態(tài)分布的形狀相似。其次，您會(huì)看到，隨著投擲次數(shù)的增加，分布變得越來(lái)越窄。讓我們繼續(xù)增加投擲次數(shù)。此時(shí)，您將投擲骰子 20 次。這種分布如圖 6?所示。

到現(xiàn)在，您應(yīng)該確信增大樣本數(shù)量對(duì)樣本平均值分布是有影響的。您將再次增大樣本數(shù)量，以強(qiáng)化這種認(rèn)知。此時(shí)，您將投擲骰子 30 次。這種分布如圖 7?所示。

讓我們看看所呈現(xiàn)的情況，在一個(gè)圖中繪制大小為 2、5、10、20、30 的樣本的直方圖，以查看變化的分布。

從上面的模擬結(jié)果，可以知道，當(dāng)樣本量大于30的時(shí)候，那么樣本均值（取了1000次樣本，得到1000個(gè)均值）的分布基本呈正態(tài)分布。

另外該定理還指出，如果根據(jù)總體不斷重復(fù)繪制隨機(jī)樣本數(shù)量 n 以及有限均值 mu(y) 和標(biāo)準(zhǔn)差 sigma(y)，然后在 n 較大時(shí)，樣本均值的分布將近似呈正態(tài)分布，并且均值等于 mu(y)，標(biāo)準(zhǔn)差等于 (sigma(y))/sqrt(n)。

審核編輯：符乾江