射頻微波設(shè)計(jì)入門——麥克斯韋方程組

大家好，這是《小木匠帶你入門RF》的第一次課，我們從麥克斯韋（鏈接）開始講起。對(duì)于很多其他行業(yè)的人來說，麥克斯韋確實(shí)很陌生，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如電學(xué)領(lǐng)域的安培，法拉第，赫茲，愛迪生，特斯拉名氣大。但對(duì)于射頻人來說，這位祖師爺級(jí)的大家是預(yù)言電磁波的第一人，是統(tǒng)一電和磁的第一人，也是統(tǒng)一電磁波和光的第一人，更是我們這個(gè)無線時(shí)代的奠基人。所以當(dāng)我們?cè)谒⒍兑敉嫱跽叩臅r(shí)候，請(qǐng)記住這位先驅(qū)的偉大貢獻(xiàn)——麥克斯韋方程組

圖1?麥克斯韋和麥克斯韋方程的微積分形式

麥克斯韋方程就是圖1中的那兩組方程，左邊是微分形式的方程組，右邊是積分形式的方程組。對(duì)于我們很多高等數(shù)學(xué)恐懼癥患者來說，這個(gè)方程簡(jiǎn)直是噩夢(mèng)，微積分是什么玩意，▽是什么玩意？中間帶圈的又是什么鬼？我也是，那些字母代表的意思都看得懂，但是前面的符號(hào)是什么？這些符號(hào)又表示了什么意思？

直到有一篇爆文在朋友圈出現(xiàn)——《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）》這兩篇文章刷爆了射頻人的朋友圈。咱們祖師爺?shù)耐嬉饩尤槐煌娴倪@么通透？所以小木匠也拼命的學(xué)習(xí)麥克斯韋方程，查資料，論文，甚至都把麥克斯韋最早的論文都翻出來了——““On Physical Lines of Force,”?(1861）”?“A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field,”??(1865)，A Treatise on Electricity and Magnetism, Volume 2?(Oxford, U.K.: Clarendon Press, 1873)

這玩意，看的閱讀越迷糊，有興趣的同學(xué)，可以閱讀一下麥克斯韋的這三篇著作（留言或者加V獲取下載鏈接）。

但是，我們換個(gè)角度，拋開那些復(fù)雜的運(yùn)算符號(hào)，去理解麥克斯韋方程，是不是會(huì)更容易一點(diǎn)？

先看第一個(gè)方程，無論是微分形式還是積分形式，每個(gè)方程的左邊都是對(duì)電場(chǎng)E的操作。而右邊是一個(gè)電荷相關(guān)的量（電荷密度ρ和總電荷Q），也就是他描述的是電場(chǎng)和電荷的關(guān)系。電場(chǎng)和電荷什么關(guān)系呢？很多中學(xué)生就可以脫口而出，電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，再去理解這個(gè)微分形式和積分形式就簡(jiǎn)單了。微分，就是把一個(gè)大物體分成很多小塊，而積分就是把很多小塊積累成大物體。麥克斯韋方程式1 的微分形式就是當(dāng)我們對(duì)一個(gè)分閉曲面趨于無窮小的時(shí)候的電場(chǎng)就是它的電荷密度ρ。那么積分形式就是一定封閉曲面內(nèi)的電場(chǎng)的積分就是這個(gè)封閉曲面內(nèi)包含的總電荷量。進(jìn)一步理解，就是這個(gè)電場(chǎng)是有源的，產(chǎn)生這個(gè)電場(chǎng)的源就是電荷。

這就是我們中學(xué)所學(xué)的電場(chǎng)的高斯定律，庫(kù)倫定理的延申。借助下面的圖再理解一下，加深一下印象。

相應(yīng)的，這個(gè)第二個(gè)方程也就簡(jiǎn)單了。左邊的電場(chǎng)E變成了磁感應(yīng)強(qiáng)度B，右邊變成了0. 這又怎么理解呢？比如這第二個(gè)方程的微分形式，左邊是一個(gè)無限小封閉曲面內(nèi)的磁通量怎么等于0呢？積分形式表示一個(gè)封閉曲面內(nèi)的磁通量總和等于0？

確實(shí)是這樣的，因?yàn)橐粋€(gè)磁體，它的磁力線總是閉合的，也就意味著一個(gè)封閉曲面內(nèi)穿過多少磁力線，就有多少磁力線回來，總的磁通量為0，也就是說，這個(gè)封閉曲面內(nèi)不可能包含一個(gè)磁單體，磁力線是閉合的。?因?yàn)槲覀冞€沒有發(fā)現(xiàn)單磁體，雖然人們還在不斷的研究尋找。是不是當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)了磁單體的時(shí)候，這個(gè)公式需要改寫？畢竟這條高斯磁定律是高斯在200年前提出的，那時(shí)候還是鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期。

那么后面這兩個(gè)公式就更有意思了。左邊是一個(gè)空間的函數(shù)，右邊是一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)時(shí)間和空間放到一起的時(shí)候，變化就產(chǎn)生了。并且還有個(gè)有意思的事情，公式的一側(cè)是電場(chǎng)E或者電位移D，而另一側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度B或者磁場(chǎng)強(qiáng)度H，（注意E，D，B，H都是矢量，頭頂上都要帶箭頭的），也就是說，通過變化，把磁場(chǎng)和電場(chǎng)聯(lián)系起來了。

這是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)要?dú)w功于偉大的平民科學(xué)家法拉第，從鞋匠到科學(xué)家的蛻變史，值得我們每一個(gè)人學(xué)習(xí)。先看麥克斯韋方程式3，隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，可以產(chǎn)生電場(chǎng)，這可是法拉第經(jīng)過了無數(shù)次試驗(yàn)的一個(gè)發(fā)現(xiàn)，電動(dòng)機(jī)也因此而產(chǎn)生，人類開始從蒸汽時(shí)代買入電力時(shí)代。注意，這個(gè)產(chǎn)生的電場(chǎng)和電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是不一樣的，這種感應(yīng)電場(chǎng)為漩渦場(chǎng)。麥克斯韋方程式4 就更直接了，不僅電流J，會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。電和磁在這個(gè)時(shí)候?qū)崿F(xiàn)了歷史性的握手，形成了交替并進(jìn)的波，把信息送給千家萬戶。

不知道到這，大家對(duì)麥克斯韋方程組有沒有看懂。這個(gè)時(shí)候，我們?cè)俜祷氐狡婀值臄?shù)學(xué)的符號(hào)：▽x，▽·，這個(gè)倒三角 ▽ 稱為哈密頓（?Hamiltonian）算子，讀作“ 那勃樂”，代表對(duì)x，y，z坐標(biāo)系下的微分，在運(yùn)算中既有微分又有矢量的雙重運(yùn)算性質(zhì)。

其運(yùn)算方式比如：

進(jìn)而延伸出后面的運(yùn)算▽x，▽·。這兩個(gè)在麥克斯韋方程組中起關(guān)鍵作用的運(yùn)算符號(hào)。

▽· 是指散度符號(hào)，表示矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，物理上表示矢量的有源性，如果散度大于0，就是這個(gè)矢量有正源，如果小于0，就是負(fù)源，等于零就是沒有源了。

而▽x 是旋度符號(hào)，表示矢量場(chǎng)對(duì)某一點(diǎn)附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度。旋度向量的大小則是繞著這個(gè)旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的環(huán)量與旋轉(zhuǎn)路徑圍成的面元的面積之比。旋度向量的方向表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)附近旋轉(zhuǎn)度最大的環(huán)量的旋轉(zhuǎn)軸，它和向量旋轉(zhuǎn)的方向滿足右手定則。