”張正友標(biāo)定”是指張正友教授1998年提出的單平面棋盤格的攝像機(jī)標(biāo)定方法。文中提出的方法介于傳統(tǒng)標(biāo)定法和自標(biāo)定法之間，但克服了傳統(tǒng)標(biāo)定法需要的高精度標(biāo)定物的缺點(diǎn)，而僅需使用一個(gè)打印出來的棋盤格就可以。同時(shí)也相對(duì)于自標(biāo)定而言，提高了精度，便于操作。因此張氏標(biāo)定法被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺方面。

原理

1.計(jì)算外參

設(shè)三維世界坐標(biāo)的點(diǎn)為M=[X,Y,Z,1]T，二維相機(jī)平面像素坐標(biāo)為m=[u,v,1]T，所以標(biāo)定用的棋盤格平面到圖像平面的單應(yīng)性關(guān)系為：sm=A[R,t]M
其中

不妨設(shè)棋盤格位于Z = 0，定義旋轉(zhuǎn)矩陣R的第i列為 ri, 則有：

令H=[h1 h2 h3]=λA[r1 r2 t]

于是空間到圖像的映射可改為：sm=HM，

其中H是描述Homographic矩陣，H是一個(gè)齊次矩陣，所以有8個(gè)未知數(shù)，至少需要8個(gè)方程，每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)能提供兩個(gè)方程，所以至少需要四個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就可以算出世界平面到圖像平面的單應(yīng)性矩陣H

外參具體計(jì)算公式。注意：R3是 t

一般而言，求解出的R = [r1 r2 t] 不會(huì)滿足正交與歸一的標(biāo)準(zhǔn)

在實(shí)際操作中，R 可以通過SVD分解實(shí)現(xiàn)規(guī)范化(詳見原文)

2.計(jì)算內(nèi)參

由r1和r2正交，且r1和r2的模相等，可以得到如下約束：

正交

模相等

可以推到出

根據(jù)推到的結(jié)果可知如果有n組觀察圖像，則V 是 2n x 6 的矩陣

根據(jù)最小二乘定義，V b = 0 的解是 VTV 最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

因此, 可以直接估算出 b，后續(xù)可以通過b求解內(nèi)參

因?yàn)锽中的未知量為6個(gè)，

所以當(dāng)觀測(cè)平面 n ≥ 3 時(shí)，可以得到b的唯一解

當(dāng) n = 2時(shí), 一般可令畸變參數(shù)γ = 0

當(dāng) n = 1時(shí), 僅能估算出α 與 β, 此時(shí)一般可假定像主點(diǎn)坐標(biāo) u0 與 v0 為0

內(nèi)部參數(shù)可通過如下公式計(jì)算(cholesky分解)：

內(nèi)參具體計(jì)算公式

3.最大似然估計(jì)

上述的推導(dǎo)結(jié)果是基于理想情況下的解，但由于可能存在高斯噪聲，所以使用最大似然估計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)我們采集了n副包含棋盤格的圖像進(jìn)行定標(biāo)，每個(gè)圖像里有棋盤格角點(diǎn)m個(gè)。令第i副圖像上的角點(diǎn)Mj在上述計(jì)算得到的攝像機(jī)矩陣下圖像上的投影點(diǎn)為：

這里的K為相機(jī)內(nèi)參矩陣A

其中Ri和ti是第i副圖對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，K是內(nèi)參數(shù)矩陣。則角點(diǎn)mij的概率密度函數(shù)為：

這里的K為相機(jī)內(nèi)參矩陣A

構(gòu)造似然函數(shù)：

這里的K為相機(jī)內(nèi)參矩陣A

讓L取得最大值，即讓下面式子最小。這里使用的是多參數(shù)非線性系統(tǒng)優(yōu)化問題的Levenberg-Marquardt算法[2]進(jìn)行迭代求最優(yōu)解。

這里的K為相機(jī)內(nèi)參矩陣A

4.徑向畸變估計(jì)

張氏標(biāo)定法只關(guān)注了影響最大的徑向畸變。則數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，(u,v)是理想無畸變的像素坐標(biāo)，(u,v)(u,v)是實(shí)際畸變后的像素坐標(biāo)。(u0,v0)代表主點(diǎn)，(x,y)是理想無畸變的連續(xù)圖像坐標(biāo)，(x,y)(x,y)是實(shí)際畸變后的連續(xù)圖像坐標(biāo)。k1和k2為前兩階的畸變參數(shù)。

化作矩陣形式：

記做：Dk=d

則可得：

計(jì)算得到畸變系數(shù)k。

使用最大似然的思想優(yōu)化得到的結(jié)果，即像上一步一樣，LM法計(jì)算下列函數(shù)值最小的參數(shù)值：

這里的K為相機(jī)內(nèi)參矩陣A

到此，張氏標(biāo)定法介紹完畢。我們也得到了相機(jī)內(nèi)參、外參和畸變系數(shù)。

相機(jī)標(biāo)定步驟

打印一張棋盤格A4紙張（黑白間距已知），并貼在一個(gè)平板上

針對(duì)棋盤格拍攝若干張圖片（一般10-20張）

在圖片中檢測(cè)特征點(diǎn)（Harris特征）

利用解析解估算方法計(jì)算出5個(gè)內(nèi)部參數(shù)，以及6個(gè)外部參數(shù)

根據(jù)極大似然估計(jì)策略，設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)并實(shí)現(xiàn)參數(shù)的refinement。

審核編輯：劉清